Ultilizando o teste da série alternada indique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar o teste da série alternada para ver se a série
converge ou diverge. Então, vamos precisar entender o que é esse teste e como aplicá-lo nessa série específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da série alternada. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de séries que têm termos que mudam de sinal (por isso “alternada”). A série é do tipo
, onde
é positivo.
Passo 3
O teste da série alternada diz que a série
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
diminuem monotonamente, ou seja, cada termo é menor que o anterior. - O limite de
quando tende ao infinito é zero: .
Passo 4
Vamos identificar
na nossa série. Temos:
Agora, vamos verificar as duas condições do teste.
Passo 5
Primeira condição: os termos
diminuem? Sim, porque conforme
aumenta,
aumenta, então
diminui. Portanto,
para todo
.
Passo 6
Segunda condição: o limite de
quando
tende ao infinito é zero? Vamos calcular:
Então, a segunda condição também é satisfeita.
Passo 7
Como ambas as condições do teste da série alternada são atendidas, podemos concluir que a série
converge.
Resposta
A série
é convergente segundo o teste da série alternada.