Ultilizando o teste da série alternada indique se as séries abaixo são convergentes ou divergentes.
sum (-1)^n+1 1raizn

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar o teste da série alternada para ver se a série sum (-1)^n+1raizn converge ou diverge. Então, vamos precisar entender o que é esse teste e como aplicá-lo nessa série específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da série alternada. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de séries que têm termos que mudam de sinal (por isso “alternada”). A série é do tipo sum (-1)^n bn, onde bn é positivo.

Passo 3

O teste da série alternada diz que a série sum (-1)^n bn converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos bn diminuem monotonamente, ou seja, cada termo é menor que o anterior.
  2. O limite de bn quando n tende ao infinito é zero: limn to infty bn = 0.

Passo 4

Vamos identificar bn na nossa série. Temos:
bn = 1raizn
Agora, vamos verificar as duas condições do teste.

Passo 5

Primeira condição: os termos bn diminuem? Sim, porque conforme n aumenta, raizn aumenta, então 1raizn diminui. Portanto, bn+1 < bn para todo n.

Passo 6

Segunda condição: o limite de bn quando n tende ao infinito é zero? Vamos calcular:
limn to infty 1raizn = 0
Então, a segunda condição também é satisfeita.

Passo 7

Como ambas as condições do teste da série alternada são atendidas, podemos concluir que a série sum (-1)^n+1raizn converge.

Resposta

A série sum (-1)^n+1raizn é convergente segundo o teste da série alternada.

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