Encontre o conjunto solução de cada uma das igualdades a seguir.
|x-3|+|x-5|=10;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
|x-3| + |x-5| = 10
O conteúdo é valor absoluto e vamos usar a definição
|a| = a, & a >= 0, -a, & a<0,
fazendo um estudo por intervalos delimitados pelos pontos em que os argumentos mudam de sinal, isto é, x=3 e x=5.

Passo 2

Definimos três regiões para x:
  1. x<3
  2. 3 <= x <5
  3. x>=5
Em cada região, substituímos |x-3| e |x-5| conforme o sinal de x-3 e x-5.

Passo 3

Caso x<3:
Temos x-3<0 e x-5<0, logo
|x-3| = 3-x, |x-5| = 5-x
A equação vira
(3-x)+(5-x)=10 Longrightarrow 8-2x=10 Longrightarrow -2x=2 Longrightarrow x=-1
Como -1<3, x=-1 é solução válida neste caso.

Passo 4

Caso 3 <= x<5:
Aqui x-3>=0 e x-5<0, então
|x-3| = x-3, |x-5| = 5-x
A equação fica
(x-3)+(5-x)=2neq10,
não há solução neste intervalo.

Passo 5

Caso x>=5:
Agora x-3>=0 e x-5>=0, assim
|x-3| = x-3, |x-5| = x-5
Temos
(x-3)+(x-5)=10 Longrightarrow 2x-8=10 Longrightarrow 2x=18 Longrightarrow x=9
Como 9>=5, x=9 é solução válida neste caso.

Resposta

-1,,9

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