Encontre o conjunto solução de cada uma das seguintes inequações:
0<x-12 x-1<2

Passo 1

Resumindo, queremos resolver a inequação racional
0 < x-12x-1 < 2
O conteúdo principal é inequação de fração, que a gente costuma quebrar em duas:
  1. dfracx-12x-1>0.
  2. dfracx-12x-1<2.
    Depois intersectamos as soluções e lembramos de excluir x=tfrac12, ponto em que o denominador zera.

Passo 2

Resolver dfracx-12x-1>0.
Para a fração ser positiva, numerador e denominador devem ter o mesmo sinal.
  • Caso A: x-1>0 e 2x-1>0
    implies x>1 e x>tfrac12 implies x>1.
  • Caso B: x-1<0 e 2x-1<0
    implies x<1 e x<tfrac12 implies x<tfrac12.
    Portanto
x-12x-1>0 Longrightarrow x<tfrac12ou x>1,
excluindo x=tfrac12.

Passo 3

Resolver dfracx-12x-1<2.
Subtraímos 2 e reduzimos a uma única fração:
x-12x-1-2<0 Longrightarrow x-1-2(2x-1)2x-1<0 Longrightarrow -3x+12x-1<0 Longrightarrow 1-3x2x-1<0
Agora, essa fração é negativa quando numerador e denominador têm sinais opostos:
  • Caso C: 1-3x>0 e 2x-1<0
    implies x<tfrac13 e x<tfrac12 implies x<tfrac13.
  • Caso D: 1-3x<0 e 2x-1>0
    implies x>tfrac13 e x>tfrac12 implies x>tfrac12.
    Logo
x-12x-1<2 Longrightarrow x<tfrac13ou x>tfrac12,
novamente excluindo x=tfrac12.

Passo 4

Agora intersectamos as duas soluções:
(x<tfrac12 ou x>1) cap (x<tfrac13 ou x>tfrac12)
  • Se x<tfrac12, para entrar na segunda temos x<tfrac13.
  • Se x>1, já satisfaz x>tfrac12.
    Ainda lembramos que não podemos ter x=tfrac12, nem alcançar pontos onde a desigualdade fica justa: em x=tfrac13 a fração vale exatamente 2, e em x=1 vale 0.
    Portanto a solução conjunta é
x<tfrac13 ou x>1,
com ambos os extremos excluídos.

Resposta

boxed,(-infty,tfrac13);cup;(1,infty),

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