Resolva as integrais
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e aplicar frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Isso significa encontrar dois números que multiplicados dão 6 e somados dão -5. Esses números são -2 e -3, então:
Passo 3
Agora, queremos quebrar a fração
em frações mais simples. Para isso, usamos o método das frações parciais, assumindo que:
Aqui,
e
são constantes que precisamos descobrir.
Passo 4
Para achar
e
, vamos multiplicar ambos os lados por
:
Expandindo os termos:
Agrupando os termos com
:
Agora, igualamos os coeficientes:
Vamos resolver esse sistema de equações.
Passo 5
Da primeira equação, podemos expressar
. Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo
na primeira equação:
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos reescrever a fração original:
Vamos integrar cada termo separadamente:
Sabemos que
, então:
Resposta
A integral é igual a
.