Resolva as integrais
integral 5 x-13x^2-5 x+6 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral 5x -13x^2 -5x +6 , dx. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e aplicar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 -5x +6. Isso significa encontrar dois números que multiplicados dão 6 e somados dão -5. Esses números são -2 e -3, então:
x^2 -5x +6 = (x -2)(x -3)

Passo 3

Agora, queremos quebrar a fração 5x -13(x -2)(x -3) em frações mais simples. Para isso, usamos o método das frações parciais, assumindo que:
5x -13(x -2)(x -3) = Ax -2 + Bx -3
Aqui, A e B são constantes que precisamos descobrir.

Passo 4

Para achar A e B, vamos multiplicar ambos os lados por (x -2)(x -3):
5x -13 = A(x -3) + B(x -2)
Expandindo os termos:
5x -13 = A x -3A + B x -2B
Agrupando os termos com x:
5x -13 = (A + B)x - (3A + 2B)
Agora, igualamos os coeficientes:
A + B = 5 (coeficiente de x)
-3A -2B = -13 (termo constante)
Vamos resolver esse sistema de equações.

Passo 5

Da primeira equação, podemos expressar A = 5 - B. Substituindo na segunda equação:
-3(5 - B) -2B = -13
-15 + 3B -2B = -13
B = 2
Agora, substituindo B = 2 na primeira equação:
A + 2 = 5 Rightarrow A = 3

Passo 6

Agora que temos A = 3 e B = 2, podemos reescrever a fração original:
5x -13(x -2)(x -3) = 3x -2 + 2x -3
Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 5x -13x^2 -5x +6 , dx = integral 3x -2 , dx + integral 2x -3 , dx
Sabemos que integral 1x -a , dx = ln|x -a| + C, então:
3 ln|x -2| + 2 ln|x -3| + C

Resposta

A integral é igual a 3 ln|x -2| + 2 ln|x -3| + C.

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