Resolva as integrais
integral(x^4+5)^3 8 x^3 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral (x^4 + 5)^3 cdot 8x^3 , dx. Esse exercício está na área de Cálculo Integral, especificamente usando a técnica de substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma função dentro da integral cuja derivada também apareça na expressão, facilitando a substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte complicada da integral, que é (x^4 + 5)^3. Vamos chamar essa expressão de u:
u = x^4 + 5

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x, que é du/dx:
dudx = 4x^3

Passo 4

Perceba que na nossa integral temos 8x^3 , dx. Podemos expressar isso em termos de du:
8x^3 , dx = 2 cdot 4x^3 , dx = 2 , du
Isso simplifica a integral para:
integral u^3 cdot 2 , du

Passo 5

Agora, a integral está em termos de u, que é mais fácil de resolver:
2 integral u^3 , du = 2 cdot u^44 + C = u^42 + C

Passo 6

Finalmente, substituímos u de volta para termos em x:
(x^4 + 5)^42 + C

Resposta

A solução da integral é (x^4 + 5)^42 + C.

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