Encontre o conjunto solução.
(\frac{x{3}+x}{-x{2}+x-9}<0)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
x^3 + x-,x^2 + x - 9 < 0
Aqui o conteúdo é análise de sinal de função racional. Para isso vamos fatorar o numerador, estudar o sinal do numerador e do denominador separadamente, depois combinar esses sinais.

Passo 2

Fatoramos o numerador:
x^3 + x = x,(x^2 + 1)
Como x^2+1>0 para todo xinR, o sinal do numerador ,x,(x^2+1) é o mesmo que o sinal de ,x.

Passo 3

Analisamos o denominador -,x^2+x-9. É uma parábola com coeficiente principal -1<0 e discriminante
De<a = 1 - 4cdot(-1)cdot(-9) = 1 - 36 = -35 < 0
Como De<a<0 e o coeficiente de x^2 é negativo, o polinômio -,x^2+x-9 é sempre negativo para todo xinR.

Passo 4

Agora o sinal da razão é
Para que a fração seja negativa, precisamos de
Note que não há exclusão de pontos por denominador nulo, pois em .

Resposta

O conjunto solução é (0,infty).

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