Encontre o conjunto solução.
(\frac{3 x+6}{x{3}-x{2}+x-1}<0)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
3x+6x^3-x^2+x-1<0
O conteúdo é análise de sinais de uma fração; vamos precisar fatorar numerador e denominador, identificar pontos críticos e montar um estudo de intervalo.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador:
3x+6 = 3,(x+2),
x^3-x^2+x-1 = (x^2+1)(x-1),
pois x^3-x^2+x-1 = x^2(x-1)+1,(x-1)=(x^2+1)(x-1).
Logo a inequação vira
3,(x+2)(x^2+1)(x-1)<0

Passo 3

Note que 3>0 e x^2+1>0 para todo x. Portanto o sinal da fração depende só de
x+2x-1<0
Os pontos críticos são x=-2 (zera o numerador) e x=1 (zera o denominador). Analisando os sinais em cada intervalo:
- Para x<-2: x+2<0 e x-1<0 Rightarrow quociente >0.
- Para -2<x<1: x+2>0 e x-1<0 Rightarrow quociente <0.
- Para x>1: x+2>0 e x-1>0 Rightarrow quociente >0.
Como queremos estritamente menor que zero, mantemos apenas o intervalo onde o quociente é negativo, excluindo x=-2 (zera a fração) e x=1 (não está no domínio).

Resposta

(-2,1)

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