Problema 17

Sofia e Isabele jogam da seguinte forma: sorteia-se um número inteiro de 1 até 100, e depois elas se alternam dizendo divisores positivos desse número, sem repetições. Quem disser o último divisor disponível vence a rodada.
Por exemplo, se o número sorteado for 20 (que tem 6 divisores), e Sofia começar, Isabele vence, pois será a sexta a jogar.
Dado: Probabilidade é a chance de um evento acontecer. Ela pode ser calculada dividindo o número de casos favoráveis pelo número total de casos possiveis.
Sabendo que Sofia sempre começa as partidas, qual a chance de ela ganhar na primeira rodada?
(A) 1 / 2
(B) 1 / 5
(C) 1 / 9
(D) 1 / 10
(B) 2 / 25

Passo 1

O enunciado sorteia um inteiro n de 1 até 100 e Sofia e Isabele alternam dizendo divisores de n até acabarem; quem disser o último divisor vence. O conteúdo aqui é cálculo de probabilidade aliado a uma observação sobre o número de divisores de um inteiro.

Passo 2

Seja d(n) o número de divisores de n. Cada jogada “consome” exatamente um divisor, sem repetições, até acabarem. Como Sofia começa, ela vence se e somente se d(n) for ímpar (com número ímpar de divisores, a primeira jogadora faz a última jogada).

Passo 3

Sabe-se que d(n) é ímpar exatamente quando n é um quadrado perfeito, pois os divisores se emparelham exceto quando há um divisor “duplo” na forma raizn.

Passo 4

Os quadrados perfeitos entre 1 e 100 são 1^2,2^2,dots,10^2, ou seja, 10 números. Como o total de casos é 100, a probabilidade de sortear um quadrado perfeito é
10100 = 110

Resposta

(D) tfrac110

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