Problema 17
Sofia e Isabele jogam da seguinte forma: sorteia-se um número inteiro de 1 até 100, e depois elas se alternam dizendo divisores positivos desse número, sem repetições. Quem disser o último divisor disponível vence a rodada.
Por exemplo, se o número sorteado for 20 (que tem 6 divisores), e Sofia começar, Isabele vence, pois será a sexta a jogar.
Dado: Probabilidade é a chance de um evento acontecer. Ela pode ser calculada dividindo o número de casos favoráveis pelo número total de casos possiveis.
Sabendo que Sofia sempre começa as partidas, qual a chance de ela ganhar na primeira rodada?
(A)
(B)
(C)
(D)
(B)
Por exemplo, se o número sorteado for 20 (que tem 6 divisores), e Sofia começar, Isabele vence, pois será a sexta a jogar.
(A)
(B)
(C)
(D)
(B)
Passo 1
O enunciado sorteia um inteiro
de 1 até 100 e Sofia e Isabele alternam dizendo divisores de
até acabarem; quem disser o último divisor vence. O conteúdo aqui é cálculo de probabilidade aliado a uma observação sobre o número de divisores de um inteiro.
Passo 2
Seja
o número de divisores de
. Cada jogada “consome” exatamente um divisor, sem repetições, até acabarem. Como Sofia começa, ela vence se e somente se
for ímpar (com número ímpar de divisores, a primeira jogadora faz a última jogada).
Passo 3
Sabe-se que
é ímpar exatamente quando
é um quadrado perfeito, pois os divisores se emparelham exceto quando há um divisor “duplo” na forma
.
Passo 4
Os quadrados perfeitos entre 1 e 100 são
, ou seja, 10 números. Como o total de casos é 100, a probabilidade de sortear um quadrado perfeito é
Resposta
(D)