Probluaio

Um robô danificado, chamado R-2, só consegue utilizar os algarismos 1,2,3,4 e 5 . Ainda assim, ele consegue escrever números de 5 algarismos.
Quantos desses números de 5 algarismos ele pode formar contendo exatamente dois algarismos 3, que estejam separados por exatamente um algarismo par (2 ou 4)?
(A) 48
(B) 60
C) 64
(D) 96
(B) 128

Passo 1

O enunciado diz que o robô forma números de 5 algarismos usando só os dígitos 1,2,3,4,5 e quer exatamente duas ocorrências de 3, que devem estar “distanciadas” de tal forma que haja exatamente um algarismo par (ou seja, 2 ou 4) entre elas. Vamos usar contagem por posições e princípio fundamental da contagem.

Passo 2

Sejam as duas ocorrências de 3 em posições i e i+2 (pois têm de estar separadas por apenas uma casa). O algarismo do meio, em i+1, deve ser escolhido dentre 2,4. Como o número tem 5 casas, o bloco “ 3 -par -3” pode começar em i=1,2,3. Logo, há 3 escolhas para a posição inicial do bloco.

Passo 3

Para cada escolha da posição i e do par do meio (2 opções: 2 ou 4), restam 2 casas livres (as que não fazem parte do bloco). Nessas casas não podemos usar 3 (já que só queremos exatamente duas ocorrências de 3), mas podemos usar qualquer dos outros dígitos 1,2,4,5, totalizando 4 opções por casa.

Passo 4

Pelo princípio multiplicativo, o total é
3(posições do bloco);times; 2(escolha do par no meio);times; 4^2(opções nas 2 casas restantes) =3cdot2cdot16=96 çõçõ

Resposta

96 (alternativa D)

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