Encontre o conjunto solução das inequações abaixo.
Passo 1
Nessa questão a gente precisa resolver a inequação
. O conteúdo aqui é inequação quadrática e vamos precisar transpor todos os termos para um lado, obter uma função quadrática e analisar onde ela é negativa ou positiva.
Passo 2
Primeiro, transpondo tudo para o mesmo lado da desigualdade:
[-2 x^2 + 2 - (2 x^2 + 8 x + 4) > 0]
[-2 x^2 + 2 - 2 x^2 - 8 x - 4 > 0]
[-4 x^2 - 8 x - 2 > 0].
Para facilitar, multiplicamos ambos os lados por e invertendo o sinal da desigualdade:
[4 x^2 + 8 x + 2 < 0].
Em seguida, dividimos todos os termos por 2 para simplificar a expressão:
[2 x^2 + 4 x + 1 < 0]
[-2 x^2 + 2 - (2 x^2 + 8 x + 4) > 0]
[-2 x^2 + 2 - 2 x^2 - 8 x - 4 > 0]
[-4 x^2 - 8 x - 2 > 0].
Para facilitar, multiplicamos ambos os lados por
[4 x^2 + 8 x + 2 < 0].
Em seguida, dividimos todos os termos por 2 para simplificar a expressão:
[2 x^2 + 4 x + 1 < 0]
Passo 3
Agora vamos encontrar as raízes dessa função quadrática. Calculamos o discriminante
. As raízes são dadas por:
[x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{4} = -1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}]
[x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{8}}{4} = -1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}]
Passo 4
Como o coeficiente de
em
é positivo, a parábola é côncava para cima, o que significa que a expressão
fica negativa entre as raízes. Portanto, a solução da inequação é o intervalo entre essas raízes.