Encontre o conjunto solução das inequações abaixo.
2 x(5 x+3)<2 x^2-1

Passo 1

O enunciado pede para achar o conjunto-solução da inequação do segundo grau 2x(5x+3)<2x²−1. O conteúdo aqui é resolução de inequações polinomiais: vamos precisar colocar tudo num só lado, obter um polinômio, fatorar e analisar o sinal.

Passo 2

Primeiro expandimos e trazemos tudo para o lado esquerdo: 2x(5x+3)=10x²+6x, então temos
10x^2+6x<2x^2-1
Subtraindo 2x²−1 de ambos os lados, fica
10x^2+6x-(2x^2-1)<0
8x^2+6x+1<0

Passo 3

Em seguida calculamos o discriminante para fatorar:
De

Passo 4

As raízes são
x=-6pmraiz42cdot8=-6pm216implies x=-tfrac12,,-tfrac14

Passo 5

Fatorando o polinômio:
8x^2+6x+1=8l(x+tfrac12r)l(x+tfrac14r)

Passo 6

Agora analisamos o sinal de 8(x+½)(x+¼): como 8>0, o produto é negativo somente entre as raízes, ou seja quando x está em (−½,−¼).

Resposta

(−\tfrac12,−\tfrac14)

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