Encontre o conjunto solução do sistema linear homogêneo:
a) Mostre que o conjunto S é um subespaço do R^3. Qual é a representação geométrica do conjunto S ?
b) Dado o subespaço U=(x, y, z) in R^3 mid x-y+z=0 determine sua intersecção com o subespaço S. Qual é a representação geométrica do conjunto U ?
Passo 1
O enunciado pede o conjunto solução
depois mostrar que e dar sua descrição geométrica. Em seguida define-se o subespaço
e pede-se e sua forma geométrica. Usaremos eliminação de Gauss para achar e, em seguida, propriedades de subespaços e interseção.
Como S é o conjunto de soluções de um sistema homogêneo, ele contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, logo é subespaço de R^3. Geometricamente, S é a reta que passa pela origem na direção do vetor (-7,3,2).
Passo 5
O subespaço
U=(x,y,z)mid x-y+z=0
é um plano que passa pela origem de normal (1,-1,1). Para (x,y,z)=t(-7,3,2)in S exigirmos x-y+z=0 calculamos
-7t - 3t + 2t = -8t = 0 ;Longrightarrow; t=0
Assim
Scap U = (0,0,0),
ou seja, apenas o vetor nulo.
Resposta
S=,t(-7,3,2)mid tinR, que é um subespaço e geometricamente uma reta passando pela origem na direção (-7,3,2). U é um plano pela origem, e