Encontre o conjunto solução S do sistema linear homogêneo:
c 2 x+4 y+z=0 x+y+2 z=0 x+3 y-z=0
a) Mostre que o conjunto S é um subespaço do R^3. Qual é a representação geométrica do conjunto S ?
b) Dado o subespaço U=(x, y, z) in R^3 mid x-y+z=0 determine sua intersecção com o subespaço S. Qual é a representação geométrica do conjunto U ?

Passo 1

O enunciado pede o conjunto solução
depois mostrar que e dar sua descrição geométrica. Em seguida define-se o subespaço
e pede-se e sua forma geométrica. Usaremos eliminação de Gauss para achar e, em seguida, propriedades de subespaços e interseção.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada do sistema:
[ccc|c 2 & 4 & 1 & 0 1 & 1 & 2 & 0 1 & 3 & -1 & 0 ]
Trocando a linha 1 com a linha 2 e eliminando abaixo, obtemos
[ccc|c 1 & 1 & 2 & 0 0 & 2 & -3 & 0 0 & 2 & -3 & 0 ] ;xrightarrow;R3>=ts R3-R2;; [ccc|c 1 & 1 & 2 & 0 0 & 2 & -3 & 0 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 3

Das linhas não nulas extraímos as equações
x + y + 2z = 0, 2y - 3z = 0
Da segunda vem y=tfrac32z. Substituindo na primeira:
x = -y - 2z = -tfrac32z - 2z = -tfrac72z
Tomando z=t,
(x,y,z) = l(-tfrac72t,;tfrac32t,;tr) = tl(-tfrac72,tfrac32,1r) = t(-7,3,2)
Logo
S=,t(-7,3,2)mid tinR

Passo 4

Como S é o conjunto de soluções de um sistema homogêneo, ele contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, logo é subespaço de R^3. Geometricamente, S é a reta que passa pela origem na direção do vetor (-7,3,2).

Passo 5

O subespaço
U=(x,y,z)mid x-y+z=0
é um plano que passa pela origem de normal (1,-1,1). Para
(x,y,z)=t(-7,3,2)in S exigirmos x-y+z=0 calculamos
-7t - 3t + 2t = -8t = 0 ;Longrightarrow; t=0
Assim
Scap U = (0,0,0),
ou seja, apenas o vetor nulo.

Resposta

S=,t(-7,3,2)mid tinR, que é um subespaço e geometricamente uma reta passando pela origem na direção (-7,3,2).
U é um plano pela origem, e
Scap U=(0,0,0),
a interseção trivial.

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