Seja o intervalo I=[0,1]. Verifique se são subespaços vetoriais de C(I) onde C(I) é o espaço vetorial das funções reais contínuas definidas em I.
W=f in C(I) mid integral0^1 f(t) d t=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = lfin C(I)mid integral0^1f(t),dt = 0r
é subespaço vetorial de C(I), o espaço das funções contínuas em I=[0,1].
Para isso vamos usar o critério padrão de subespaço: mostrar que
(1) Wneqemptyset,
(2) W é fechado sob soma,
(3) W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que W não é vazio exibindo a função zero
f0(t)=0forall,tin[0,1]
Como
integral0^1f0(t),dt = integral0^10,dt = 0,
temos f0in W. Logo Wneqemptyset.

Passo 3

Mostramos que W é fechado sob soma. Sejam f,gin W. Então
integral0^1(f+g)(t),dt = integral0^1f(t),dt + integral0^1g(t),dt = 0 + 0 = 0
Assim f+gin W.

Passo 4

Mostramos que W é fechado sob multiplicação por escalar. Seja alphainR e fin W. Então
integral0^1(alpha f)(t),dt = alphaintegral0^1f(t),dt = alphacdot 0 = 0
Logo alpha fin W.

Resposta

Concluímos que W satisfaz todos os requisitos de subespaço, portanto
W
é subespaço vetorial de C(I).

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