Seja o intervalo
. Verifique se são subespaços vetoriais de
onde
é o espaço vetorial das funções reais contínuas definidas em I.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é subespaço vetorial de
, o espaço das funções contínuas em
.
Para isso vamos usar o critério padrão de subespaço: mostrar que
(1) ,
(2) é fechado sob soma,
(3) é fechado sob multiplicação por escalar.
Para isso vamos usar o critério padrão de subespaço: mostrar que
(1)
(2)
(3)
Passo 2
Mostramos que
não é vazio exibindo a função zero
Como
temos
. Logo
.
Passo 3
Mostramos que
é fechado sob soma. Sejam
. Então
Assim
.
Passo 4
Mostramos que
é fechado sob multiplicação por escalar. Seja
e
. Então
Logo
.
Resposta
Concluímos que
satisfaz todos os requisitos de subespaço, portanto
é subespaço vetorial de
.