Verifique se o seguinte subconjunto S das matrizes de ordem n é um subespaço vetorial: S=A in Mn(R) mid A^2=A. ( S é o conjunto das matrizes idempotentes).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
S = A in Mn(R) mid A^2 = A
é um subespaço vetorial de Mn(R). Para isso precisamos conferir três propriedades:
1. 0in S.
2. Fechamento sob soma: se A,Bin S então A+Bin S.
3. Fechamento sob multiplicação escalar: se Ain S e cinR então cAin S.

Passo 2

Verificamos o elemento zero. Como
0^2 = 0,
temos 0in S. Então a condição de conter o vetor zero está satisfeita.

Passo 3

Testamos fechamento sob multiplicação escalar. Se Ain S então A^2=A. Para cA ser idempotente precisamos
(cA)^2 = c^2 A^2 = c^2 A = cA
Isso implica
(c^2 - c),A = 0
Como queremos que isso valha para todo Ain S, só sobra duas possibilidades não-triviais: c=0 ou c=1. Para qualquer outro c e Aneq0 a igualdade falha, logo cAnotin S. Ou seja, S não é fechado sob multiplicação por escalares arbitrários.

Passo 4

Mostramos também que a soma de idempotentes nem sempre é idempotente. Considere em M2(R)
A = 1 & 0 [6pt] 0 & 0, B = 121 & 1 [3pt] 1 & 1
Vale verificar diretamente que
A^2 = A, B^2 = 141&11&11&11&1 = 121&11&1 = B,
então A,Bin S. Mas
A+B = 1 & 0 [3pt] 0 & 0 + 121 & 1 [3pt] 1 & 1 = 3/2 & 1/2 [3pt] 1/2 & 1/2
Calculando (A+B)^2:
(A+B)^2 = 3/2 & 1/2 [3pt] 1/2 & 1/2^!2 = 5/2 & 3/2 [3pt] 3/2 & 5/2 neq 3/2 & 1/2 [3pt] 1/2 & 1/2 = A+B
Logo A+Bnotin S, mostrando a falha de fechamento sob adição.]

Resposta

O conjunto S das matrizes idempotentes não é um subespaço vetorial de Mn(R).

Exercícios relacionados