Verifique se o seguinte subconjunto
das matrizes de ordem
é um subespaço vetorial:
. (
é o conjunto das matrizes idempotentes).
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é um subespaço vetorial de
. Para isso precisamos conferir três propriedades:
.
.
. Fechamento sob soma: se
então
.
. Fechamento sob multiplicação escalar: se
e
então
.
Passo 2
Verificamos o elemento zero. Como
temos
. Então a condição de conter o vetor zero está satisfeita.
Passo 3
Testamos fechamento sob multiplicação escalar. Se
então
. Para
ser idempotente precisamos
Isso implica
Como queremos que isso valha para todo
, só sobra duas possibilidades não-triviais:
ou
. Para qualquer outro
e
a igualdade falha, logo
. Ou seja,
não é fechado sob multiplicação por escalares arbitrários.
Passo 4
Mostramos também que a soma de idempotentes nem sempre é idempotente. Considere em
Vale verificar diretamente que
então
. Mas
Calculando
:
Logo
, mostrando a falha de fechamento sob adição.]
Resposta
O conjunto
das matrizes idempotentes não é um subespaço vetorial de
.