Seja U o subconjunto de C([-a, a]) composto pelas funções pares e W o subconjunto composto pelas funções ímpares.
a) Demonstre que U e W são subespaços vetoriais de C([-a, a]).
b) Encontre U cap W.
c) Mostre que C([-a, a])=U oplus W.

Passo 1

O enunciado trabalha com o espaço vetorial C([-a,a]) de todas as funções contínuas em [-a,a]. Definimos
,U=finC([-a,a])mid f(x)=f(-x) (funções pares) e
,W=finC([-a,a])mid f(x)=-f(-x) (funções ímpares).
Vamos usar o teste de subespaço vetorial (fechamento para soma e multiplicação escalar e presença da função zero), caracterizar a interseção e depois provar que todo f se decompõe unicamente em parte par e ímpar.

Passo 2

Demonstro que U é subespaço de C([-a,a]).
1. A função zero ,0(x)=0 satisfaz 0(x)=0=0(-x), logo 0in U.
2. Sejam f,gin U. Então
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=(f+g)(x),
ou seja, f+g é par e pertence a U.
3. Para alphainR e fin U,
(alpha f)(-x)=alpha,f(-x)=alpha,f(x)=(alpha f)(x),
logo alpha fin U.
Portanto, U é subespaço.

Passo 3

Analogamente, W é subespaço de C([-a,a]).
1. A função zero satisfaz 0(-x)=0=-0(x), então 0in W.
2. Se f,gin W,
(f+g)(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-(f+g)(x),
logo f+gin W.
3. Para escalar alpha,
(alpha f)(-x)=alpha,f(-x)=-alpha,f(x)=-(alpha f)(x),
portanto alpha fin W.

Passo 4

Calculo Ucap W. Se hin Ucap W então para todo x
h(-x)=h(x)(par) e h(-x)=-h(x)(ímpar) í
Somando as duas equalidades, obtemos 2,h(x)=0, logo h(x)=0 para todo x.
Assim,
Ucap W=0

Passo 5

Mostro que U+W=C([-a,a]). Dada finC([-a,a]), defino
fpar(x)=f(x)+f(-x)2, fímpar(x)=f(x)-f(-x)2 í
É imediato verificar que fparin U, fímparin Wí e
fpar(x)+fímpar(x) =f(x)+f(-x)2+f(x)-f(-x)2=f(x) í
Como f era arbitrária, todo elemento de C([-a,a]) escreve-se como soma de um par e um ímpar, ou seja, U+W=C([-a,a]).

Passo 6

Concluímos que Ucap W=0 e U+W=C([-a,a]). Por definição, isso significa
C([-a,a])=Uoplus W

Resposta

(a) U e W são subespaços vetoriais de C([-a,a]).
(b) Ucap W=0.
(c) C([-a,a])=Uoplus W.

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