Seja
o subconjunto de
composto pelas funções pares e
o subconjunto composto pelas funções ímpares.
a) Demonstre que
e
são subespaços vetoriais de
.
b) Encontre
.
c) Mostre que
.
a) Demonstre que
b) Encontre
c) Mostre que
Passo 1
O enunciado trabalha com o espaço vetorial
de todas as funções contínuas em
. Definimos
(funções pares) e
(funções ímpares).
Vamos usar o teste de subespaço vetorial (fechamento para soma e multiplicação escalar e presença da função zero), caracterizar a interseção e depois provar que todo se decompõe unicamente em parte par e ímpar.
Vamos usar o teste de subespaço vetorial (fechamento para soma e multiplicação escalar e presença da função zero), caracterizar a interseção e depois provar que todo
Passo 2
Demonstro que
é subespaço de
.
. A função zero
satisfaz
, logo
.
. Sejam
. Então
ou seja,
é par e pertence a
.
. Para
e
,
logo
.
Portanto, é subespaço.
Portanto,
Passo 3
Analogamente,
é subespaço de
.
. A função zero satisfaz
, então
.
. Se
,
logo
.
. Para escalar
,
portanto
.
Passo 4
Calculo
. Se
então para todo
Somando as duas equalidades, obtemos
, logo
para todo
.
Assim,
Assim,
Passo 5
Mostro que
. Dada
, defino
É imediato verificar que
,
e
Como
era arbitrária, todo elemento de
escreve-se como soma de um par e um ímpar, ou seja,
.
Passo 6
Concluímos que
e
. Por definição, isso significa
Resposta
(a)
e
são subespaços vetoriais de
.
(b) .
(c) .
(b)
(c)