Questão 1:(7.5) Verdadeiro ou Falso? Justifique sua escolha.
(a) Se é uma matriz de ordem e é uma matriz de ordem , então a matriz é uma matriz de ordem .
(b) A matriz é inversível.
(c) O ângulo entre os vetores A=(1,1,4), B=(-1,2,2) é 60^circ.
(d) O vetor unitário que é simultaneamente ortogonal aos vetores u=(2,-6,3) e v=(4,3,1) é o vetor w=(3 / 7,2 / 7,3 / 7).
(e) Os vetores u=(3,-1,4), v=(1,0,-1) e w=(2,-1,0) são coplanares.
Passo 1
Vamos analisar a Questão 1, que contém cinco afirmações sobre matrizes e vetores. O conteúdo envolve conceitos de álgebra linear, como operações com matrizes, determinantes, produto escalar e vetores ortogonais. Para resolver cada parte, precisaremos aplicar definições e propriedades dessas áreas.
Parte (a)
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a afirmação está dizendo. Temos duas matrizes: C de ordem 3 times 3 e E de ordem 2 times 3 . A afirmação diz que a matriz resultante de E C E^t seria de ordem 2 times 2 .
Passo 3
Para descobrir a ordem da matriz resultante, precisamos lembrar de como funciona a multiplicação de matrizes. Quando multiplicamos duas matrizes, o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda. O resultado terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz.
Passo 4
Vamos calcular a ordem de E C E^t :
E é 2 times 3
C é 3 times 3
E^t (transposta de E ) é 3 times 2
Primeiro multiplicamos E e C :
2 times 3 multiplicado por 3 times 3 resulta em 2 times 3
Depois, multiplicamos o resultado por E^t :
2 times 3 multiplicado por 3 times 2 resulta em 2 times 2
Passo 5
A afirmação é que a matriz F é inversível. Isso significa que existe uma matriz que, quando multiplicada por F , resulta na matriz identidade.
Passo 6
Para verificar se uma matriz é inversível, precisamos calcular seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível.
Passo 7
Vamos calcular o determinante da matriz F :
F = 0 & 1 & 1 12 & 15 & 18 4 & 11 & 12
Usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores, podemos calcular o determinante.
Calculando:
det(F) = 0 times (15 times 12 - 18 times 11) - 1 times (12 times 12 - 18 times 4) + 1 times (12 times 11 - 15 times 4)
det(F) = 0 - 1 times (144 - 72) + 1 times (132 - 60)
det(F) = -72 + 72 = 0
Passo 8
A afirmação é que o ângulo entre os vetores A = (1, 1, 4) e B = (-1, 2, 2) é de 60^circ. Vamos verificar isso usando o produto escalar.
Passo 9
O produto escalar entre dois vetores A e B é dado por:
A cdot B = |A| times |B| times cos(theta)
Onde theta é o ângulo entre eles. Podemos rearranjar para encontrar theta :
cos(theta) = A cdot B|A| times |B|
Passo 10
Calculando cada parte:
A cdot B = (1)(-1) + (1)(2) + (4)(2) = -1 + 2 + 8 = 9
cos(theta) = 94,24 times 3 approx 912,73 approx 0,707
theta approx cos^-1(0,707) approx 45^circ
Passo 11
A afirmação é que o vetor w = (37, 27, 37) é unitário e é ortogonal tanto a u = (2, -6, 3) quanto a v = (4, 3, 1) .
Passo 12
Primeiro, vamos verificar se w é unitário, ou seja, se sua magnitude é 1. Depois, vamos conferir se w é ortogonal a u e v calculando o produto escalar.
u cdot w = 2 times 37 + (-6) times 27 + 3 times 37 = 67 - 127 + 97 = 37 neq 0
v cdot w = 4 times 37 + 3 times 27 + 1 times 37 = 127 + 67 + 37 = 217 = 3 neq 0
Passo 14
A afirmação diz que os vetores u = (3, -1, 4) , v = (1, 0, -1) e w = (2, -1, 0) são coplanares. Vetores coplanares estão todos no mesmo plano, o que significa que são lineares dependentes.
Passo 15
Para verificar se os vetores são coplanares, podemos calcular o determinante da matriz formada por eles. Se o determinante for zero, os vetores são coplanares.
Passo 16
Montando a matriz:
M = 3 & 1 & 2 -1 & 0 & -1 4 & -1 & 0
Calculando o determinante:
det(M) = 3 times (0 times 0 - (-1) times -1) - 1 times (-1 times 0 - (-1) times 4) + 2 times (-1 times -1 - 0 times 4)
= 3 times (0 - 1) - 1 times (0 - (-4)) + 2 times (1 - 0)
= 3 times (-1) - 1 times 4 + 2 times 1
= -3 - 4 + 2 = -5 neq 0
Resposta
Falso. Os vetores não são coplanares, já que o determinante é diferente de zero.