Encontre o conjunto de soluções da inequação (x-1) \times(2-x) \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
(x-1)\times(2-x)\ge 0
Isso é um problema de inequações envolvendo produto de fatores. Para resolver, vamos achar os pontos em que cada fator se anula e depois estudar o sinal do produto em cada intervalo determinado por esses pontos.

Passo 2

Encontramos as raízes dos fatores, ou seja, os valores de x que tornam cada fator igual a zero:
x-1=0\implies x=1, \quad 2-x=0\implies x=2.
Esses valores dividem a reta real em três intervalos: (-\infty,1), (1,2) e (2,\infty).

Passo 3

Em cada intervalo, determinamos o sinal de cada fator:
Para x<1: \,x-1<0 e 2-x>0.
Produto: (x-1)(2-x)<0.
Para 1<x<2: \,x-1>0 e 2-x>0.
Produto: (x-1)(2-x)>0.
Para x>2: \,x-1>0 e 2-x<0.
Produto: (x-1)(2-x)<0.

Passo 4

Queremos (x-1)(2-x)\ge 0, ou seja, produto não negativo. Pelos testes de sinal, isso acontece quando o produto é positivo ou zero. Vimos que o produto é positivo em (1,2) e é zero exatamente em x=1 e em x=2.

Resposta

\boxed{[1,2]}

Exercícios relacionados