Encontre as constantes

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= 2x+1, & x<=3, Ax+B, & 3<x<5, x^2+2, & x>=5,
e pede A e B de modo que f seja contínua em R. Para isso, vamos usar o conceito de continuidade em um ponto: o limite à esquerda e o limite à direita em cada quebra devem ser iguais ao valor da função naquele ponto.

Passo 2

Em x=3, a parte à esquerda dá
limxto3^-f(x)=2cdot3+1=7
e a parte do meio, pelo lado direito, tende a
limxto3^+f(x)=Acdot3+B=3A+B
Para continuidade em 3 precisamos de
3A+B=7

Passo 3

Em x=5, a parte do meio, pelo lado esquerdo, tende a
limxto5^-f(x)=Acdot5+B=5A+B,
enquanto a parte à direita vale
limxto5^+f(x)=5^2+2=27
Para continuidade em 5 precisamos de
5A+B=27

Passo 4

Temos o sistema
3A+B=7, 5A+B=27
Subtraindo a primeira da segunda achamos
2A=20Rightarrow A=10,
e então
3cdot10+B=7Rightarrow B=-23

Resposta

A=10 e B=-23.

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