Encontre as constantes

Passo 1

O enunciado nos dá uma função por partes em R com quebras nos pontos x=-3 e x=3. Para que f seja contínua em toda reta, precisamos garantir que os limites laterais coincidam nesses pontos, ou seja, que não haja “salto” em -3 nem em 3.

Passo 2

Continuidades em x=-3.
Pela esquerda temos
f(-3^-) = 3(-3) + 6A = -9 + 6A,
e no ponto
f(-3) = 3Acdot(-3) - 7B = -9A -7B
Igualando para não haver descontinuidade:
-9 + 6A = -9A -7B

Passo 3

Continuidades em x=3.
No ponto médio da região do meio
f(3) = 3Acdot3 -7B = 9A -7B,
e pela direita
f(3^+) = 3 - 12B
Igualando para garantir continuidade:
9A -7B = 3 - 12B

Passo 4

Vamos reorganizar as duas equações obtidas:
Da continuidade em -3:
-9 + 6A = -9A -7B Longrightarrow 15A + 7B = 9
Da continuidade em 3:
9A -7B = 3 -12B Longrightarrow 9A + 5B = 3
Esse é um sistema linear em A e B. Eliminando B:
multiplicando 9A+5B=3 por 7 e 15A+7B=9 por 5, subtraímos e achamos
12A = 24 Longrightarrow A = 2
Substituindo A=2 em 9A+5B=3:
9cdot2 + 5B = 3 Longrightarrow 5B = -15 Longrightarrow B = -3

Resposta

A = 2, B = -3

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