Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique o porquê.

Passo 1

O enunciado pede
limxto1f(x)-f(1)x-1
para a função
f(x)= x^2, & x<=1, 2x-1, & x>1
Esse limite é o quociente de diferença que define a derivada de f em x=1.

Passo 2

Primeiro, calculamos
f(1)=1^2=1
Assim a expressão fica
f(x)-f(1)x-1=f(x)-1x-1

Passo 3

Para xto1^-, usamos o ramo f(x)=x^2. Então
limxto1^-f(x)-1x-1 =limxto1^-x^2-1x-1 =limxto1^-(x+1) =2

Passo 4

Para xto1^+, usamos o ramo f(x)=2x-1. Logo
limxto1^+f(x)-1x-1 =limxto1^+2x-1-1x-1 =limxto1^+2 =2

Passo 5

Como os limites laterais coincidem (ambos =2), o limite bilateral existe e vale 2.

Resposta

2

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