1. \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \to 0}\frac{\operatorname{sen}\!\left(x^{2}\right)}{x}.
Informações dadas: a expressão é \dfrac{\operatorname{sen}(x^{2})}{x} e a variável x tende a 0. A tarefa é encontrar o valor desse limite.

Passo 2

Vamos reunir dois ingredientes teóricos que usarei (explicados de forma didática):
  1. Desigualdade básica da função seno. Para todo t\in\mathbb{R} vale
\lvert \operatorname{sen} t\rvert \le \lvert t\rvert.
Explicação rápida e simples: considere g(t)=t-\operatorname{sen} t. Tem-se g(0)=0 e g'(t)=1-\cos t\ge 0 para todo t. Assim g é não decrescente e, para t\ge0, g(t)\ge0 o que implica \operatorname{sen} t\le t. Usando a paridade ímpar do seno ( \operatorname{sen}(-t)=-\operatorname{sen} t) obtém-se a versão em valor absoluto acima, válida para todo t.
  1. Teorema do sanduíche (squeeze theorem). Se h_1(x)\le f(x)\le h_2(x) para x num intervalo ao redor de a (exceto possivelmente em a) e
\lim_{x\to a} h_1(x)=\lim_{x\to a} h_2(x)=L,
então \lim_{x\to a} f(x)=L. Em palavras: se f fica “entre” duas funções que têm o mesmo limite L, então f também tem limite L.

Passo 3

Aplicar a desigualdade do seno à nossa expressão. Tomando t=x^{2} na desigualdade \lvert\operatorname{sen} t\rvert \le \lvert t\rvert obtemos
\lvert \operatorname{sen}(x^{2})\rvert \le \lvert x^{2}\rvert = x^{2}.
Agora dividimos por \lvert x\rvert (para x\neq0) para relacionar com a expressão do enunciado:
\left\lvert \frac{\operatorname{sen}(x^{2})}{x}\right\rvert = \frac{\lvert \operatorname{sen}(x^{2})\rvert}{\lvert x\rvert} \le \frac{x^{2}}{\lvert x\rvert} = \lvert x\rvert.

Passo 4

A desigualdade anterior implica, para x\neq0,
-\,\lvert x\rvert \le \frac{\operatorname{sen}(x^{2})}{x} \le \lvert x\rvert.
Como \lim_{x\to 0}\lvert x\rvert = 0, as duas funções que fazem os limites inferior e superior tendem a 0. Pelo teorema do sanduíche, o limite da função do meio é também 0. Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x^{2})}{x}=0.

Resposta

0

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