Explicação rápida e simples: considere g(t)=t-\operatorname{sen} t. Tem-se g(0)=0 e g'(t)=1-\cos t\ge 0 para todo t. Assim g é não decrescente e, para t\ge0, g(t)\ge0 o que implica \operatorname{sen} t\le t. Usando a paridade ímpar do seno (\operatorname{sen}(-t)=-\operatorname{sen} t) obtém-se a versão em valor absoluto acima, válida para todo t.
Teorema do sanduíche (squeeze theorem). Se h_1(x)\le f(x)\le h_2(x) para x num intervalo ao redor de a (exceto possivelmente em a) e
\lim_{x\to a} h_1(x)=\lim_{x\to a} h_2(x)=L,
então \lim_{x\to a} f(x)=L. Em palavras: se f fica “entre” duas funções que têm o mesmo limite L, então f também tem limite L.
Passo 3
Aplicar a desigualdade do seno à nossa expressão. Tomando t=x^{2} na desigualdade \lvert\operatorname{sen} t\rvert \le \lvert t\rvert obtemos
Como \lim_{x\to 0}\lvert x\rvert = 0, as duas funções que fazem os limites inferior e superior tendem a 0. Pelo teorema do sanduíche, o limite da função do meio é também 0. Portanto