Obtenha o desenvolvimento em série de Fourier das funções:
(d) f(x) a função periódica de período 2 tal que f(x)=cos pi x2, para -1<x<1.

Passo 1

O enunciado pede o desenvolvimento em série de Fourier de uma função f periódica de período 2 e dada em -1<x<1 por
f(x)=cos!l(tfracpi x2r)
O conteúdo usado será a expansão de uma função de período 2L (aqui L=1) em senos e cossenos, aproveitando que f é par.

Passo 2

Para período 2 ( L=1) a série de Fourier tem forma
f(x)=a02+sumn=1^inftyl(ancos(npi x)+bnsin(npi x)r),
com
an=integral-1^1f(x)cos(npi x),dx, bn=integral-1^1f(x)sin(npi x),dx

Passo 3

Cálculo de a0:
a0=integral-1^1cos!l(tfracpi x2r),dx =2integral0^1cos!l(tfracpi x2r),dx =2gl[2pisin!l(tfracpi x2r)gr]0^1 =4picdot1 =4pi

Passo 4

Como f é par e sin(npi x) é ímpar, todos os bn são zero:
bn=0para todo n>=1

Passo 5

Cálculo de an para n>=1:
an =integral-1^1cos!l(tfracpi x2r)cos(npi x),dx =2integral0^1cos!l(tfracpi x2r)cos(npi x),dx
Usando a fórmula de produto em soma:
cos Acos B =tfrac12l[cos(A+B)+cos(A-B)r],
temos
integral0^1cos!l(tfracpi x2r)cos(npi x),dx =12integral0^1l[cos!l((n+tfrac12)pi xr) +cos!l((n-tfrac12)pi xr)r]dx
Integramos cada cosseno:
integral0^1cos(kpi x),dx =sin(kpi)kpi Longrightarrow integral0^1cos!l((npmtfrac12)pi xr),dx =sinl((npmtfrac12)pir)(npmtfrac12)pi

Passo 6

Usando sinl(npi+tfracpi2r)=(-1)^n e
sinl(npi-tfracpi2r)=(-1)^n+1, obtemos
integral0^1cos!l(tfracpi x2r)cos(npi x),dx =12l[(-1)^n(n+tfrac12)pi+(-1)^n+1(n-tfrac12)pir]
Multiplicando por 2
an =(-1)^n+1pil(n^2-tfrac14r) =4(-1)^n+1pi(4n^2-1)

Passo 7

Reunindo tudo, a série de Fourier é
f(x)=cos!l(tfracpi x2r) =a02+sumn=1^inftyancos(npi x) =2pi +sumn=1^infty4(-1)^n+1pi(4n^2-1)cos(npi x)

Resposta

boxed cos!l(tfracpi x2r) =2pi +sumn=1^infty4(-1)^n+1pi(4n^2-1)cos(npi x), período 2 í

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