Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. (m) \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{n^{2}+1}
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n}{n^{2}+1}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações dadas que vamos usar: o termo geral (em módulo) é positivo
b_n=\frac{n}{n^{2}+1}>0,
e a série é alternante por causa do fator (-1)^{n-1}.
Passo 2
Testando a convergência absoluta: estudar a série de termos positivos obtida pelo valor absoluto,
A série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} é divergente. Pelo teste da comparação (se c_n\ge d_n\ge0 e \sum d_n diverge então \sum c_n diverge), concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+1}
diverge. Portanto a série original NÃO é absolutamente convergente.
Breve explicação do teste usado: comparar termos positivos com uma série conhecida; aqui mostramos que cada termo é maior que metade do termo harmônico correspondente, então a soma não pode convergir.
Passo 3
Testando a convergência (alternada) — possibilidade de convergência condicional: aplicamos o Teste de Leibniz (teste da série alternante). O teste diz: se b_n\ge0, b_n é monotonicamente decrescente a partir de um certo índice e \lim_{n\to\infty} b_n=0, então a série \sum (-1)^{n} b_n converge.
Aqui b_n=\dfrac{n}{n^{2}+1}. Primeiro verificamos o limite:
Para x>1 temos 1-x^{2}<0, portanto f'(x)<0 quando x>1. Isso significa que f é decrescente em (1,\infty), e portanto a sequência b_n=f(n) é decrescente para n\ge2. Observando numericamente, b_1=\tfrac{1}{2}, b_2=\tfrac{2}{5}, etc., mostra também a queda desde o início. Assim as hipóteses do Teste de Leibniz são satisfeitas: b_n\searrow 0.
Pelo Teste de Leibniz, a série alternante
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n}{n^{2}+1}
converge.
Passo 4
Como a série converge (por ser alternante com b_n\to0 e b_n decrescente) mas não converge absolutamente (a série dos módulos diverge), conclui-se que a série é convergente condicionalmente.
Força aí — você já desvendou a natureza da série: não some absolutamente, mas some graças às alternâncias!