Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(m) \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n}{n^{2}+1}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações dadas que vamos usar: o termo geral (em módulo) é positivo
b_n=\frac{n}{n^{2}+1}>0,
e a série é alternante por causa do fator (-1)^{n-1}.

Passo 2

Testando a convergência absoluta: estudar a série de termos positivos obtida pelo valor absoluto,
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\;(-1)^{n-1}\frac{n}{n^{2}+1}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+1}.
Para ver se essa série converge ou diverge usamos comparação com a série harmônica. Note que, para n\ge 1,
n^{2}+1 \le 2n^{2},
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\frac{n}{n^{2}+1} \ge \frac{n}{2n^{2}}=\frac{1}{2n}.
A série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} é divergente. Pelo teste da comparação (se c_n\ge d_n\ge0 e \sum d_n diverge então \sum c_n diverge), concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+1}
diverge. Portanto a série original NÃO é absolutamente convergente.
Breve explicação do teste usado: comparar termos positivos com uma série conhecida; aqui mostramos que cada termo é maior que metade do termo harmônico correspondente, então a soma não pode convergir.

Passo 3

Testando a convergência (alternada) — possibilidade de convergência condicional: aplicamos o Teste de Leibniz (teste da série alternante). O teste diz: se b_n\ge0, b_n é monotonicamente decrescente a partir de um certo índice e \lim_{n\to\infty} b_n=0, então a série \sum (-1)^{n} b_n converge.
Aqui b_n=\dfrac{n}{n^{2}+1}. Primeiro verificamos o limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^{2}+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+\tfrac{1}{n}}=0,
ou, informal e comumente usado, \dfrac{n}{n^{2}+1}\sim \dfrac{1}{n}\to0.
Agora verificamos que b_n é decrescente para n grande. Considere a função contínua
f(x)=\frac{x}{x^{2}+1},\qquad x\ge1.
Calculamos a derivada:
f'(x)=\frac{(x^{2}+1)-2x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.
Para x>1 temos 1-x^{2}<0, portanto f'(x)<0 quando x>1. Isso significa que f é decrescente em (1,\infty), e portanto a sequência b_n=f(n) é decrescente para n\ge2. Observando numericamente, b_1=\tfrac{1}{2}, b_2=\tfrac{2}{5}, etc., mostra também a queda desde o início. Assim as hipóteses do Teste de Leibniz são satisfeitas: b_n\searrow 0.
Pelo Teste de Leibniz, a série alternante
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n}{n^{2}+1}
converge.

Passo 4

Como a série converge (por ser alternante com b_n\to0 e b_n decrescente) mas não converge absolutamente (a série dos módulos diverge), conclui-se que a série é convergente condicionalmente.
Força aí — você já desvendou a natureza da série: não some absolutamente, mas some graças às alternâncias!

Resposta

Convergente condicionalmente.

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