Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
(n) \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{n^{3}+3}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\frac{n}{n^{3}+3}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Informações dadas e observações imediatas:
  • O termo geral da série é (-1)^{n-1}\dfrac{n}{n^{3}+3}.
  • A série é alternada por causa do fator (-1)^{n-1}.
  • O módulo do termo geral é \dfrac{n}{n^{3}+3}, que é positivo para todo n\ge 1.
  • Precisamos analisar tanto a série com sinais quanto a série dos valores absolutos: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{3}+3}.

Passo 2

Vou estudar primeiro a série dos valores absolutos, porque se ela converge então a série original é absolutamente convergente (e portanto converge). Definição e ideia de teste que vou usar:
  • Uma série \sum b_n é absolutamente convergente se \sum |b_n| converge.
  • Um teste simples e muito usado é o teste da comparação: se 0\le u_n \le v_n para todo n e \sum v_n converge, então \sum u_n também converge.
  • Outra referência comum é a série-p: a série \sum \dfrac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1. Em particular, \sum \dfrac{1}{n^{2}} converge.

Passo 3

Comparação direta entre os termos:
  • Para todo n\ge 1 temos n^{3}+3 \ge n^{3}. Portanto
\frac{n}{n^{3}+3} \le \frac{n}{n^{3}} = \frac{1}{n^{2}}.
Expliquei: dividimos numerador e denominador por n^{3} mentalmente; o denominador fica menor se retiramos o +3, então a fração fica menor ou igual à 1/n^{2}.

Passo 4

Aplicando o teste da comparação:
  • Sabemos que a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} converge (é uma série-p com p=2>1).
  • Como 0\le \dfrac{n}{n^{3}+3}\le \dfrac{1}{n^{2}} para todo n\ge 1, pelo teste da comparação concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{3}+3}
converge.

Passo 5

Conclusão sobre convergência absoluta e condicional:
  • A convergência de \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n}{n^{3}+3} significa que a série dos valores absolutos da série original converge.
  • Logo a série original \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\frac{n}{n^{3}+3} é absolutamente convergente.
  • Lembrete didático: quando uma série é absolutamente convergente, ela também é convergente (convergência absoluta é uma propriedade mais forte). Portanto não há apenas convergência condicional — é convergência absoluta.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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