Verifique se as séries abaixo são absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Informações dadas e observações imediatas:
- O termo geral da série é
. - A série é alternada por causa do fator
. - O módulo do termo geral é
, que é positivo para todo . - Precisamos analisar tanto a série com sinais quanto a série dos valores absolutos:
Passo 2
Vou estudar primeiro a série dos valores absolutos, porque se ela converge então a série original é absolutamente convergente (e portanto converge). Definição e ideia de teste que vou usar:
- Uma série
é absolutamente convergente se converge. - Um teste simples e muito usado é o teste da comparação: se
para todo e converge, então também converge. - Outra referência comum é a série-p: a série
converge se, e somente se, . Em particular, converge.
Passo 3
Comparação direta entre os termos:
- Para todo
temos . Portanto
Expliquei: dividimos numerador e denominador por
mentalmente; o denominador fica menor se retiramos o
, então a fração fica menor ou igual à
.
Passo 4
Aplicando o teste da comparação:
- Sabemos que a série
converge (é uma série-p com ). - Como
para todo , pelo teste da comparação concluímos que
converge.
Passo 5
Conclusão sobre convergência absoluta e condicional:
- A convergência de
significa que a série dos valores absolutos da série original converge. - Logo a série original
é absolutamente convergente. - Lembrete didático: quando uma série é absolutamente convergente, ela também é convergente (convergência absoluta é uma propriedade mais forte). Portanto não há apenas convergência condicional — é convergência absoluta.
Resposta
A série é absolutamente convergente.