Encontre as coordenadas polares dos seguintes pontos: (1,1),(2,-2),(-1, raiz3),(3 raiz3, 3) e(1,-2).

Passo 1

Resumindo, queremos converter cada ponto (x,y) em coordenadas polares (r,theta), onde:
r = raizx^2 + y^2,
theta é dado por theta = arctan!l(tfracyxr) ajustado para o quadrante correto (de modo que 0 <= theta<2pi).

Passo 2

Para (1,1) temos
r = raiz1^2 + 1^2 = raiz2,
o ângulo é
theta = arctan!l(tfrac11r) = tfracpi4
(1º quadrante).

Passo 3

Para (2,-2) calculamos
r = raiz2^2 + (-2)^2 = 2raiz2,
o ângulo bruto é arctan(-1) = -tfracpi4, mas estamos no 4º quadrante, então
theta = 2pi - tfracpi4 = tfrac7pi4

Passo 4

Para l(-1,raiz3r):
r = raiz(-1)^2 + (raiz3)^2 = 2,
arctan!l(tfracraiz3-1r) = -tfracpi3, mas o ponto está no 2º quadrante, logo
theta = pi - tfracpi3 = tfrac2pi3

Passo 5

Para l(3raiz3,3r):
r = raiz(3raiz3)^2 + 3^2 = raiz27 + 9 = 6,
theta = arctan!l(tfrac33raiz3r) = arctan!l(tfrac1raiz3r) = tfracpi6
(1º quadrante).

Passo 6

Para (1,-2):
r = raiz1^2 + (-2)^2 = raiz5,
arctan(-2) = -arctan(2), mas como estamos no 4º quadrante, tomamos
theta = 2pi - arctan(2)

Resposta

l(raiz2,,tfracpi4r)
l(2raiz2,,tfrac7pi4r)
l(2,,tfrac2pi3r)
l(6,,tfracpi6r)
l(raiz5,,2pi - arctan(2)r)

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