Mostre que a equação representa uma circunferência e determine o centro e o raio.
2 x^2+2 y^2-x+y=1

Passo 1

O enunciado dá a equação
2x^2+2y^2-x+y=1
e pede para mostrar que ela representa uma circunferência e determinar centro e raio. Como não há termo em xy e os coeficientes de x^2 e de y^2 são iguais, de fato é uma circunferência. Para achar centro e raio, vamos escrever na forma reduzida
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
por meio de completamento de quadrados.

Passo 2

Dividimos ambos os lados por 2 para simplificar:
x^2+y^2-tfrac12,x+tfrac12,y=tfrac12

Passo 3

Reagrupamos os termos em x e em y:
x^2-tfrac12,x ;+; y^2+tfrac12,y ;=;tfrac12

Passo 4

Em cada grupo completamos o quadrado, adicionando e subtraindo l(tfrac14r)^2=tfrac116:
l(x^2-tfrac12x+tfrac116r) + l(y^2+tfrac12y+tfrac116r) = tfrac12 + tfrac116 + tfrac116
Assim obtemos
l(x-tfrac14r)^2 + l(y+tfrac14r)^2 = tfrac12 + tfrac216 = tfrac12 + tfrac18 = tfrac58

Passo 5

Comparando com (x-a)^2+(y-b)^2=r^2, vemos que
a=tfrac14, b=-tfrac14, r=raiztfrac58=raiz104

Resposta

O centro da circunferência é l(tfrac14,-tfrac14r) e o raio é raiztfrac58=tfracraiz104.

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