Obtenha a interseção da reta
com o plano
(se houver):
(1)
para
(2)
para
(para $\lambda, \mu \in \mathbb{R})
(3)
(4)
para
(1)
(2)
(3)
(4)
Passo 1
O enunciado pede a interseção entre retas e planos em quatro casos distintos. O conteúdo é geometria analítica no espaço, e vamos usar parametrações de reta e de plano, substituindo as coordenadas da reta na equação do plano (ou fazendo o contrário, no caso de plano paramétrico) e resolver o sistema resultante para descobrir o(s) valor(es) do parâmetro:
- reta em forma vetorial e plano em forma cartesiana
- reta em forma vetorial e plano em forma paramétrica
- reta em forma simétrica e plano em forma cartesiana
- reta em forma simétrica e plano em forma paramétrica
Passo 2
Caso (1):
Reta e plano
.
Substituímos
Reta
Substituímos
em
e obtemos
Logo a interseção é
Passo 3
Caso (2):
Reta e plano paramétrico
Reta
Escrevemos o ponto genérico da reta
e queremos
,
,
. Das duas últimas igualdades:
Daí
e
. O ponto de interseção é
Passo 4
Caso (3):
Reta em forma simétrica
Reta em forma simétrica
dá
e o plano é
. Substituindo:
que é impossível. Logo não há interseção (reta paralela ao plano).
Passo 5
Caso (4):
Reta simétrica implica
Reta simétrica
Plano paramétrico
gera
Igualando coordenadas da reta e do plano:
Dessas equações surge um sistema que tem infinitas soluções (é identicamente satisfeito para
,
). Portanto a reta está contida no plano e há infinitas interseções.
Resposta
(1)
(2)
(3) não há interseção (reta paralela ao plano)
(4) reta contida no plano (infinitas interseções)
(2)
(3) não há interseção (reta paralela ao plano)
(4) reta contida no plano (infinitas interseções)