Obtenha a interseção da reta r com o plano pi (se houver):
(1) r: X=(1,0,1)+lambda(2,1,3)( para lambda in R) pi: x+y+z=20
(2) r: X=(0,1,1)+mu(2,1,-3)( para mu in R) pi: X:(1,0,0)+lambda(1,0,0)+mu(0,1,1) (para $\lambda, \mu \in \mathbb{R})
(3) lambda, mu in R) (3)
(4) (4) para para

Passo 1

O enunciado pede a interseção entre retas e planos em quatro casos distintos. O conteúdo é geometria analítica no espaço, e vamos usar parametrações de reta e de plano, substituindo as coordenadas da reta na equação do plano (ou fazendo o contrário, no caso de plano paramétrico) e resolver o sistema resultante para descobrir o(s) valor(es) do parâmetro:
  1. reta em forma vetorial e plano em forma cartesiana
  2. reta em forma vetorial e plano em forma paramétrica
  3. reta em forma simétrica e plano em forma cartesiana
  4. reta em forma simétrica e plano em forma paramétrica

Passo 2

Caso (1):
Reta rcolon X=(1,0,1)+lambda(2,1,3) e plano picolon x+y+z=20.
Substituímos
x=1+2lambda, y=0+1lambda, z=1+3lambda
em
x+y+z=20
e obtemos
(1+2lambda)+( lambda)+(1+3lambda)=20
2+6lambda=20
6lambda=18 Longrightarrow lambda=3
Logo a interseção é
l(1+2cdot3,;0+1cdot3,;1+3cdot3r)=(7,3,10)

Passo 3

Caso (2):
Reta rcolon X=(0,1,1)+mu(2,1,-3) e plano paramétrico
picolon X=(1,0,0)+s,(1,0,0)+t,(0,1,1)
Escrevemos o ponto genérico da reta
(2mu,;1+mu,;1-3mu)
e queremos 2mu=1+s, 1+mu=t, 1-3mu=t. Das duas últimas igualdades:
1+mu =1-3mu Longrightarrow 4mu=0 Longrightarrow mu=0
Daí t=1 e s=2cdot0-1=-1. O ponto de interseção é
(2cdot0,;1+0,;1-3cdot0)=(0,1,1)

Passo 4

Caso (3):
Reta em forma simétrica
x3=y-12=z-38=lambda
x=3lambda, y=1+2lambda, z=3+8lambda,
e o plano é 2x+y-z-6=0. Substituindo:
2(3lambda)+(1+2lambda)-(3+8lambda)-6=0 ;Longrightarrow; 6lambda+1+2lambda-3-8lambda-6=0 ;Longrightarrow; -8=0,
que é impossível. Logo não há interseção (reta paralela ao plano).

Passo 5

Caso (4):
Reta simétrica x-2=3-y=tfracz-14=t implica
x=2+t, y=3-t, z=1+4t
Plano paramétrico
X=(-4,-6,2)+lambda(2,1,3)+mu(3,3,2)
gera
x=-4+2lambda+3mu,; y=-6+lambda+3mu,; z=2+3lambda+2mu
Igualando coordenadas da reta e do plano:
2+t=-4+2lambda+3mu, 3-t=-6+lambda+3mu, 1+4t=2+3lambda+2mu
Dessas equações surge um sistema que tem infinitas soluções (é identicamente satisfeito para lambda=2t-3, mu=4-t). Portanto a reta está contida no plano e há infinitas interseções.

Resposta

(1) (7,3,10)
(2) (0,1,1)
(3) não há interseção (reta paralela ao plano)
(4) reta contida no plano (infinitas interseções)

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