A medida do ângulo theta entre uma reta r e um plano pi é calculada pela fórmula
sen theta=|n cdot u||n| cdot|u|
para 0 <= theta <= pi2, e onde n é um vetor normal ao plano pi e u é um vetor diretor da reta r.
Calcule a medida do ângulo theta entre r:lx=-lambda y=1-lambda z=0,(lambda in R), e pi: y+z-10=0.

Passo 1

O enunciado pede o ângulo theta entre a reta r e o plano pi usando a fórmula
sentheta = lvert vec ncdotvec urvert|vec n|;|vec u|,
onde vec n é normal a pi e vec u é diretor de r. Vamos identificar esses vetores e aplicar a fórmula.

Passo 2

Da reta
r: x=-lambda, y=1-lambda, z=0,
vemos que o vetor diretor é
vec u = (-1,,-1,,0),
pois varia (-1) em x, (-1) em y e 0 em z quando lambda aumenta.

Passo 3

O plano pi tem equação y+z-10=0. Seu vetor normal é dado pelos coeficientes de x,y,z, ou seja,
vec n = (0,,1,,1)

Passo 4

Calculamos o produto interno e as normas:
vec ncdotvec u = 0cdot(-1) + 1cdot(-1) + 1cdot0 = -1 Longrightarrow lvert vec ncdotvec urvert = 1,
|vec n| = raiz0^2 + 1^2 + 1^2 = raiz2, |vec u| = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz2
Logo,
sentheta = 1raiz2;raiz2 = 12

Passo 5

Para achar theta basta inverter o seno:
theta = arcsen!l(tfrac12r) = pi6

Resposta

theta = pi6 (ou 30^circ).

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