Use a Fórmula (8) para calcular o comprimento de arco da curva polar.
O círculo inteiro r=2 a cos theta

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva em coordenadas polares
r = 2acostheta
para a volta inteira do círculo. O conteúdo é a fórmula de comprimento de arco em polares, que é, supondo Fórmula (8),
L = integraltheta1^theta2 raizr(theta)^2 + gl(drdthetagr)^2,dtheta

Passo 2

Calculamos a derivada de r em relação a theta:
drdtheta = ddthetal(2acosthetar) = -2asintheta

Passo 3

Substituímos r e dr/dtheta dentro da raiz:
r^2 + l(drdthetar)^2 = l(2acosthetar)^2 + l(-2asinthetar)^2 = 4a^2cos^2theta +4a^2sin^2theta =4a^2(cos^2theta+sin^2theta) =4a^2
Logo o integrando fica constante:
raizr^2+l(tfracdrdthetar)^2 = raiz4a^2 = 2a

Passo 4

Para descrever o círculo inteiro em polos usamos theta de -tfracpi2 a tfracpi2, pois fora desse intervalo costheta é negativa e não gera pontos novos no gráfico.

Passo 5

O comprimento de arco é então
L = integral-tfracpi2^tfracpi2 2a,dtheta = 2agl[thetagr]-tfracpi2^tfracpi2 = 2al(tfracpi2-(-tfracpi2)r) =2api

Resposta

L = 2pi a

Exercícios relacionados