Encontre as coordenadas polares de todos os pontos nos quais a curva polar tem uma reta tangente vertical ou horizontal.
r=a sen theta

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, na curva polar
r = a sin theta,
os pontos onde a reta tangente é horizontal ou vertical.
O conteúdo da matéria é o cálculo de dydx em coordenadas polares e a identificação das condições
dydx=0 (horizontal) e denominador zero em tfracdydx (vertical).

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x = rcostheta, y = rsintheta
e a derivada
dydx =drdtheta,sintheta + r,costheta drdtheta,costheta - r,sintheta
Para r=asintheta vem
drdtheta=acostheta,
logo o numerador e denominador são
N = acosthetasintheta + asinthetacostheta = a,(2sinthetacostheta) = asin2theta,
D = acosthetacostheta - asinthetasintheta = a(cos^2theta - sin^2theta) = acos2theta
Assim
dydx=ND=sin2thetacos2theta=tan2theta

Passo 3

Tangente horizontal ocorre quando
dydx=0Longrightarrow N=0Longrightarrowsin2theta=0
Isso dá
2theta = kpi Longrightarrow theta = kpi2, kinZ,
e D=cos2theta=(-1)^kneq0, então todas essas soluções são válidas.
Os valores de r são
r = asinl(kpi2r),
logo os pontos em coordenadas polares são
l(asin(ktfracpi2),,ktfracpi2r), kinZ

Passo 4

Tangente vertical ocorre quando o denominador se anula sem anular o numerador, ou seja
D=0Longrightarrowcos2theta=0 Longrightarrow 2theta = pi2 + kpi Longrightarrow theta = pi4 + kpi2,
e de fato sin2theta=pm1neq0.
Os valores de r são
r = asinl(tfracpi4+ktfracpi2r) = pmaraiz2,
logo os pontos em coordenadas polares são
l(asin(tfracpi4+ktfracpi2),,tfracpi4+ktfracpi2r), kinZ

Resposta

Tangentes horizontais em
l(r,thetar) =l(asinl(ktfracpi2r),,ktfracpi2r), kinZ,
e tangentes verticais em
l(r,thetar) =l(asinl(tfracpi4+ktfracpi2r),,tfracpi4+ktfracpi2r), kinZ

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