MAT0169: Quarta Atividade a Distância (A4)
Seja i a região no plano limitada pelos gráficos de y=3 x e y=5 x-x^2.
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação de R em torno do eixo x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta ao girar a região limitada pelas curvas y = 3x e y = 5x - x^2 em torno do eixo x . Para isso, vamos utilizar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo integral usada para encontrar volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos de interseção das duas curvas para saber os limites de integração. Isso significa resolver a equação 3x = 5x - x^2 .
3x = 5x - x^2 0 = 2x - x^2 x^2 - 2x = 0 x(x - 2) = 0 x = 0 ou x = 2
Então, as curvas se intersectam nos pontos x = 0 e x = 2 .

Passo 3

Agora, vamos determinar qual das duas funções está por cima da outra no intervalo de x = 0 a x = 2 . Vamos escolher um valor dentro desse intervalo, por exemplo, x = 1 :
y1 = 3(1) = 3 y2 = 5(1) - (1)^2 = 5 - 1 = 4
Como y2 > y1 quando x = 1 , concluímos que y = 5x - x^2 está acima de y = 3x nesse intervalo.

Passo 4

Com isso, podemos aplicar o método dos discos. A fórmula geral para o volume V é:
V = pi integrala^b [ (f(x))^2 - (g(x))^2 ] dx
Onde:
  • f(x) é a função de cima: 5x - x^2
  • g(x) é a função de baixo: 3x
  • a e b são os limites de integração: 0 e 2

Passo 5

Vamos substituir na fórmula:
V = pi integral0^2 [ (5x - x^2)^2 - (3x)^2 ] dx
Primeiro, vamos expandir os quadrados:
(5x - x^2)^2 = 25x^2 - 10x^3 + x^4 (3x)^2 = 9x^2
Substituindo de volta na integral:
V = pi integral0^2 [ 25x^2 - 10x^3 + x^4 - 9x^2 ] dx V = pi integral0^2 [ 16x^2 - 10x^3 + x^4 ] dx

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral 16x^2 dx = 163x^3 integral -10x^3 dx = -104x^4 = -52x^4 integral x^4 dx = 15x^5
Então, a integral se torna:
V = pi [ 163x^3 - 52x^4 + 15x^5 ]0^2

Passo 7

Vamos calcular os valores nos limites x = 2 e x = 0 :
Para x = 2 :
163(2)^3 = 163 times 8 = 1283 -52(2)^4 = -52 times 16 = -40 15(2)^5 = 15 times 32 = 325
Somando:
1283 - 40 + 325 = 128 times 515 - 40 times 1515 + 32 times 315 = 640 - 600 + 9615 = 13615
Para x = 0 , todos os termos são zero.

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo x é:
V = 13615pi , unidades cúbicas ú

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