MAT0169: Quarta Atividade a Distância (A4)
Seja
a região no plano limitada pelos gráficos de
e
.
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação de
em torno do eixo
.
Seja
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que resulta ao girar a região limitada pelas curvas
e
em torno do eixo
. Para isso, vamos utilizar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo integral usada para encontrar volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos de interseção das duas curvas para saber os limites de integração. Isso significa resolver a equação
.
Então, as curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora, vamos determinar qual das duas funções está por cima da outra no intervalo de
a
. Vamos escolher um valor dentro desse intervalo, por exemplo,
:
Como
quando
, concluímos que
está acima de
nesse intervalo.
Passo 4
Com isso, podemos aplicar o método dos discos. A fórmula geral para o volume
é:
Onde:
-
é a função de cima: -
é a função de baixo: -
e são os limites de integração: e
Passo 5
Vamos substituir na fórmula:
Primeiro, vamos expandir os quadrados:
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Então, a integral se torna:
Passo 7
Vamos calcular os valores nos limites
e
:
Para
:
Somando:
Para
, todos os termos são zero.
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
é: