Seja partial wpartial x+partial wpartial y+partial wpartial z=0. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
w=e^x-y+cos (y-z)+raizz-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função w = e^x - y + cos(y - z) + raizz - x satisfaz a equação diferencial parcial partial wpartial x + partial wpartial y + partial wpartial z = 0 . Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de w em relação a x , y e z , e depois somá-las para ver se dá zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de w em relação a x , que é partial wpartial x .
A função w tem três termos:
  1. e^x - y : A derivada em relação a x de e^x - y é e^x - y , porque a derivada de e^u em relação a u é e^u , e u = x - y .
  2. cos(y - z) : Este termo não depende de x , então a derivada em relação a x é 0.
  3. raizz - x : Para derivar raizz - x em relação a x , usamos a regra da cadeia. A derivada de raizu em relação a u é 12raizu , e a derivada de u = z - x em relação a x é -1 . Então, partialpartial x raizz - x = 12raizz - x times (-1) = -12raizz - x.
Portanto,
partial wpartial x = e^x - y - 12raizz - x

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de w em relação a y , que é partial wpartial y .
Novamente, analisando os três termos:
  1. e^x - y : A derivada em relação a y é -e^x - y , pois a derivada de e^u em relação a u é e^u , e u = x - y , cuja derivada em relação a y é -1 .
  2. cos(y - z) : A derivada de cos(u) em relação a u é -sin(u) , e u = y - z . Então, partialpartial y cos(y - z) = -sin(y - z).
  3. raizz - x : Este termo não depende de y , então a derivada em relação a y é 0.
Assim,
partial wpartial y = -e^x - y - sin(y - z)

Passo 4

Vamos agora calcular a derivada parcial de w em relação a z , que é partial wpartial z .
Analisando os termos:
  1. e^x - y : Não depende de z , então a derivada é 0.
  2. cos(y - z) : A derivada de cos(u) em relação a u é -sin(u) , e u = y - z . Como estamos derivando em relação a z , que é negativo em u , a derivada fica sin(y - z) .
  3. raizz - x : A derivada de raizu em relação a u é 12raizu , onde u = z - x . A derivada de u em relação a z é 1. Então, partialpartial z raizz - x = 12raizz - x.
Portanto,
partial wpartial z = sin(y - z) + 12raizz - x

Passo 5

Agora que temos todas as derivadas parciais, vamos somá-las:
partial wpartial x + partial wpartial y + partial wpartial z = ( e^x - y - 12raizz - x ) + ( -e^x - y - sin(y - z) ) + ( sin(y - z) + 12raizz - x )
Vamos simplificar cada parte:
  1. e^x - y - e^x - y = 0
  2. -12raizz - x + 12raizz - x = 0
  3. -sin(y - z) + sin(y - z) = 0
Portanto, a soma total é:
0 + 0 + 0 = 0

Resposta

Sim, a função w = e^x - y + cos(y - z) + raizz - x satisfaz a equação diferencial partial wpartial x + partial wpartial y + partial wpartial z = 0 .

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