Seja
. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função
satisfaz a equação diferencial parcial
. Para isso, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
, e depois somá-las para ver se dá zero.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que é
.
A função
tem três termos:
-
: A derivada em relação a de é , porque a derivada de em relação a é , e . -
: Este termo não depende de , então a derivada em relação a é 0. -
: Para derivar em relação a , usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é . Então, .
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
.
Novamente, analisando os três termos:
-
: A derivada em relação a é , pois a derivada de em relação a é , e , cuja derivada em relação a é . -
: A derivada de em relação a é , e . Então, . -
: Este termo não depende de , então a derivada em relação a é 0.
Assim,
Passo 4
Vamos agora calcular a derivada parcial de
em relação a
, que é
.
Analisando os termos:
-
: Não depende de , então a derivada é 0. -
: A derivada de em relação a é , e . Como estamos derivando em relação a , que é negativo em , a derivada fica . -
: A derivada de em relação a é , onde . A derivada de em relação a é 1. Então, .
Portanto,
Passo 5
Agora que temos todas as derivadas parciais, vamos somá-las:
Vamos simplificar cada parte:
Portanto, a soma total é:
Resposta
Sim, a função
satisfaz a equação diferencial
.