MAT0169: Quarta Atividade a Distância (A4)
Teste a convergência ou divergência das séries.
Teste a convergência ou divergência das séries.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
O objetivo é determinar se essa série converge (ou seja, soma até um valor finito) ou diverge (cresce sem limites). Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento geral dos termos da série. Observamos que o denominador
é a soma de uma exponencial
e uma raiz quadrada
.
Sabemos que funções exponenciais crescem muito mais rápido que funções de raiz quadrada quando
aumenta. Portanto, para valores grandes de
,
domina
, tornando
.
Passo 3
Com base nisso, podemos simplificar a expressão dos termos da série para algo mais manejável:
Isso nos sugere que a série original se comporta de forma semelhante à série:
Passo 4
Agora, vamos lembrar que
é uma série geométrica, onde cada termo é multiplicado por
em relação ao anterior. Sabemos que uma série geométrica
converge se
.
No nosso caso,
, que satisfaz a condição de convergência.
Passo 5
Para confirmar a convergência da série original usando o Teste da Comparação, comparamos os termos correspondentes:
Como
é convergente e nossos termos são menores ou iguais a ela, pelo Teorema da Comparação, a série original também converge.
Resposta
A série
converge.