MAT0169: Quarta Atividade a Distância (A4)
Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=1^infty 32^n+raizn

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita:
sumn=1^infty 32^n + raizn
O objetivo é determinar se essa série converge (ou seja, soma até um valor finito) ou diverge (cresce sem limites). Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento geral dos termos da série. Observamos que o denominador 2^n + raizn é a soma de uma exponencial 2^n e uma raiz quadrada raizn.
Sabemos que funções exponenciais crescem muito mais rápido que funções de raiz quadrada quando n aumenta. Portanto, para valores grandes de n, 2^n domina raizn, tornando 2^n + raizn approx 2^n.

Passo 3

Com base nisso, podemos simplificar a expressão dos termos da série para algo mais manejável:
32^n + raizn approx 32^n
Isso nos sugere que a série original se comporta de forma semelhante à série:
sumn=1^infty 32^n

Passo 4

Agora, vamos lembrar que sumn=1^infty 32^n é uma série geométrica, onde cada termo é multiplicado por 12 em relação ao anterior. Sabemos que uma série geométrica sumn=1^infty ar^n converge se |r| < 1.
No nosso caso, r = 12, que satisfaz a condição de convergência.

Passo 5

Para confirmar a convergência da série original usando o Teste da Comparação, comparamos os termos correspondentes:
0 < 32^n + raizn <= 32^n
Como sumn=1^infty 32^n é convergente e nossos termos são menores ou iguais a ela, pelo Teorema da Comparação, a série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 32^n + raizn converge.

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