Use a Fórmula (8) para calcular o comprimento de arco da curva polar.
r=e^3 theta de theta=0 a theta=2

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva polar r = e^3theta para theta variando de 0 a 2. O conteúdo é cálculo de comprimento de arco em coordenadas polares e vamos usar a fórmula apropriada.

Passo 2

A fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares é:
L = integrala^b raizr(theta)^2 + (drdtheta)^2, dtheta
Aqui temos a=0, b=2 e r(theta)=e^3theta.

Passo 3

Calculamos a derivada de r em relação a theta:
drdtheta = ddtheta e^3theta = 3e^3theta

Passo 4

Substituímos r e drdtheta na raiz da integral:
raizr^2 + (drdtheta)^2 = raize^6theta + 9e^6theta = raiz10,e^6theta = raiz10,e^3theta
Logo,
L = integral0^2 raiz10,e^3theta,dtheta

Passo 5

Integramos em relação a theta:
L = raiz10 integral0^2 e^3theta,dtheta = raiz10 [13e^3theta]0^2 = raiz103l(e^6 - 1r)

Resposta

L = raiz103l(e^6 - 1r)

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