Q12: Seja S o conjunto dos \left(x_{1}, \ldots, x_{10}\right) \in \mathbb{R}^{10} tais que:
\left\{\begin{array}{c} x_{10}=x_{2} \\\ x_{9}=x_{8} \\\ x_{10}-x_{9}=x_{2}-x_{8} \end{array}\right.
A dimensão de S é:
(A) 9
(B) 10
(C) 6
(D) 3
(E) 8
(F) 7
(G) 4
(H) 2

Passo 1

O enunciado pede a dimensão de S\subset\mathbb{R}^{10}\) definido por três equações lineares: \[\begin{cases} x_{10}=x_{2},\\\ x_{9}=x_{8},\\\ x_{10}-x_{9}=x_{2}-x_{8}. \end{cases}
O conteúdo é cálculo de dimensão de subespaço definido por equações lineares; para resolver, vamos achar quantas delas são independentes (posto do sistema) e usar (\dim S = 10 - posto].

Passo 2

Analisamos linearmente as três igualdades. As duas primeiras são
x_{10}-x_{2}=0, \quad x_{9}-x_{8}=0.
A terceira é
(x_{10}-x_{2}) - (x_{9}-x_{8}) = 0,
que é exatamente a combinação “primeira menos segunda”. Logo, há apenas 2 equações independentes.

Passo 3

Como temos 10 variáveis e 2 restrições lineares independentes, a dimensão do espaço solução é
\dim S = 10 - 2 = 8.

Resposta

(E) 8

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