Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto-solução de um sistema linear homogèneo é um subespaço vetorial.
II \cdot \mathrm{O} conjunto das matrizes A_{3 \times 3} onde a_{22}=-a_{33}\left(a_{i j}\right. é a entrada da matriz A da linha i, coluna j ) é um subespaço vetorial.
III - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que p(3)=9 p(2) é um subespaço vetorial.
(A) Apenas I e III são verdadeiras.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Todas são falsas.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Apenas I e II são verdadeiras,
(F) Apenas II e III são verdadeiras.
(G) Apenas I é verdadeira.
(H) Apenas III é verdadeira.

Passo 1

O enunciado pede para decidir quais desses conjuntos são subespaços vetoriais. O conteúdo é teoria de subespaços: para um subconjunto W de um espaço vetorial V ser subespaço, convém verificar que (a) o vetor zero de V está em W, (b) W é fechado sob soma e (c) fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Analisando a afirmativa I: “o conjunto-solução de um sistema linear homogêneo”. Esse conjunto é \{x\mid Ax=0\}. Sabemos que 0 satisfaz A0=0, e se x e y satisfazem Ax=0 e Ay=0, então A(x+y)=Ax+Ay=0+0=0 e para escalar \alpha, A(\alpha x)=\alpha\,Ax=0. Logo é subespaço. Portanto I é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmativa II: “o conjunto das matrizes A\in M_{3\times3} tais que a_{22}=-a_{33}”. O zero satisfaz 0=-0. Se A e B têm a_{22}=-a_{33} e b_{22}=-b_{33}, então (A+B)_{22}=a_{22}+b_{22} e (A+B)_{33}=a_{33}+b_{33}, logo
(A+B)_{22}=a_{22}+b_{22} =-a_{33}-b_{33} =-(a_{33}+b_{33}) =-(A+B)_{33}.
E para escalar \alpha, (\alpha A)_{22}=\alpha a_{22}=-\alpha a_{33}=(\alpha A)_{33}. Portanto II é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmativa III: “o conjunto de polinômios de grau \le2 tais que p(3)=9\,p(2)”. O polinômio zero satisfaz 0=9\cdot0. Se p e q satisfazem p(3)=9p(2) e q(3)=9q(2), então para quaisquer escalares \alpha,\beta,
(\alpha p+\beta q)(3) =\alpha\,p(3)+\beta\,q(3) =\alpha\,9\,p(2)+\beta\,9\,q(2) =9\bigl(\alpha\,p(2)+\beta\,q(2)\bigr) =9(\alpha p+\beta q)(2).
Logo está fechado sob soma e escalar, e III é verdadeira.

Resposta

(D)

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