Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto-solução de um sistema linear homogèneo é um subespaço vetorial.
II
conjunto das matrizes
onde
é a entrada da matriz
da linha
, coluna
) é um subespaço vetorial.
III - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
é um subespaço vetorial.
(A) Apenas I e III são verdadeiras.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Todas são falsas.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Apenas I e II são verdadeiras,
(F) Apenas II e III são verdadeiras.
(G) Apenas I é verdadeira.
(H) Apenas III é verdadeira.
I - O conjunto-solução de um sistema linear homogèneo é um subespaço vetorial.
II
III - O conjunto de todos os polinômios de grau máximo 2 tais que
(A) Apenas I e III são verdadeiras.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Todas são falsas.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Apenas I e II são verdadeiras,
(F) Apenas II e III são verdadeiras.
(G) Apenas I é verdadeira.
(H) Apenas III é verdadeira.
Passo 1
O enunciado pede para decidir quais desses conjuntos são subespaços vetoriais. O conteúdo é teoria de subespaços: para um subconjunto
de um espaço vetorial
ser subespaço, convém verificar que (a) o vetor zero de
está em
, (b)
é fechado sob soma e (c) fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Analisando a afirmativa I: “o conjunto-solução de um sistema linear homogêneo”. Esse conjunto é
. Sabemos que
satisfaz
, e se
e
satisfazem
e
, então
e para escalar
,
. Logo é subespaço. Portanto I é verdadeira.
Passo 3
Analisando a afirmativa II: “o conjunto das matrizes
tais que
”. O zero satisfaz
. Se
e
têm
e
, então
e
, logo
E para escalar
,
. Portanto II é verdadeira.
Passo 4
Analisando a afirmativa III: “o conjunto de polinômios de grau
tais que
”. O polinômio zero satisfaz
. Se
e
satisfazem
e
, então para quaisquer escalares
,
Logo está fechado sob soma e escalar, e III é verdadeira.
Resposta
(D)