Seja V o subconjunto de R^4 dos vetores (x, y, z, w) que satisfazem a equação x+y-z=0.
O conjunto [1,1,-1,1],[0,0,0,1],[2,1,3,2] Gera V?

Passo 1

O enunciado define o subespaço
V = (x,y,z,w)inR^4 mid x+y-z=0
e pergunta se o conjunto
G = v1=(1,1,-1,1),;v2=(0,0,0,1),;v3=(2,1,3,2)
gera V. Para que G gere V, primeiro precisamos ter Gsubseteq V e depois basta verificar que dim V=3 e que os vetores de G são três (potencialmente independentes).

Passo 2

Calcular a dimensão de V. A condição x+y-z=0 é uma única equação linear independente em R^4, logo
dim V = 4 - 1 = 3

Passo 3

Verificar se cada vi pertence a V calculando x+y-z:
Para v1=(1,1,-1,1):
1 + 1 - (-1) = 3 neq 0,
logo v1notin V.

Passo 4

Como v1notin V, o conjunto G não é mesmo subconjunto de V. Portanto não pode gerar V, pois todo gerador de um subespaço deve pertencer a esse subespaço.

Resposta

Não, o conjunto (1,1,-1,1),,(0,0,0,1),,(2,1,3,2) não gera V, pois (1,1,-1,1)notin V.

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