Use o processo de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonormal para R^3 a partir da base (0,0,2),(3,0,4),(3,5,6).

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o processo de Gram–Schmidt à base (0,0,2),,(3,0,4),,(3,5,6) de R^3 com o produto escalar usual, de modo a obter uma base ortonormal. A ideia é, para cada vetor vk, subtrair dele as projeções sobre os vetores já ortogonais u1,dots,uk-1 e depois normalizar esse resíduo.

Passo 2

Definimos
u1 = v1 = (0,0,2)
O comprimento de u1 é
|u1| = raizlang<= u1,u1rang<= = raiz0^2+0^2+2^2 = 2,
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e1 = u1|u1| = 12(0,0,2) = (0,0,1)
Em seguida, para v2=(3,0,4) calculamos
proju1(v2) = lang<= v2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1 = 3cdot0 + 0cdot0 + 4cdot24,(0,0,2) = 84(0,0,2) = (0,0,4)
Então
u2 = v2 - proju1(v2) = (3,0,4) - (0,0,4) = (3,0,0),
com
|u2| = raiz3^2+0^2+0^2 = 3,
portanto
e2 = u2|u2| = 13(3,0,0) = (1,0,0)

Passo 3

Para v3=(3,5,6) subtraímos as projeções sobre u1 e u2:
proju1(v3) = lang<= v3,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1 = 3cdot0 +5cdot0 +6cdot24(0,0,2) = 124(0,0,2) = (0,0,6),
proju2(v3) = lang<= v3,u2rang<=lang<= u2,u2rang<=,u2 = 3cdot3 +5cdot0 +6cdot09(3,0,0) = 99(3,0,0) = (3,0,0)
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u3 = v3 - (0,0,6) - (3,0,0) = (3,5,6) - (3,0,6) = (0,5,0),
e
|u3| = raiz0^2+5^2+0^2 = 5,
de onde
e3 = u3|u3| = 15(0,5,0) = (0,1,0)

Resposta

Uma base ortonormal obtida é
l,e1,e2,e3r = l(0,0,1),,(1,0,0),,(0,1,0)r

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