(a) Mostre que se A é uma matriz m times n tal que A X=0, para toda matriz X, n times 1, então A=0. (Sugestão: use o Exercício 16 na página 23.)
(b) Sejam B e C matrizes m times n, tais B X=C X, para todo X, n times 1. Mostre que B=C. (Sugestão: use o item anterior.)

Passo 1

O enunciado divide-se em duas partes. Em (a) temos uma matriz A de tamanho mtimes n tal que
A X = 0
para todo vetor coluna XinR^n. Precisamos mostrar que A é a matriz nula. Em (b) temos duas matrizes B e C de mesmo tamanho mtimes n satisfazendo
B X = C X
para todo XinR^n, e precisamos provar B=C. Vamos usar conceitos de transformação linear e o conjunto das colunas de cada matriz.

Passo 2

Para (a), considere os vetores de base canônica de R^n. Defina, para j=1,dots,n, o vetor
ej = (0,dots,0,1,0,dots,0)^T,
com o 1 na posição j. A multiplicação A ej retorna precisamente a j-ésima coluna de A. Pela hipótese,
A ej = 0
para todo j.

Passo 3

Como cada A ej é o vetor nulo, todas as colunas de A são nulas. Logo, A é a matriz cujo todos os elementos são zero, isto é,
A = 0

Passo 4

Para (b), considere a matriz diferença B - C. Ela também é mtimes n e satisfaz, para todo X,
(B - C),X = B X - C X = 0
Pela parte (a), a única matriz que anula todos os vetores coluna é a matriz nula. Portanto
B - C = 0
e segue-se imediatamente que
B = C

Resposta

(a) A = 0
(b) B = C

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