(a) Mostre que se
é uma matriz
tal que
, para toda matriz
, então
. (Sugestão: use o Exercício 16 na página 23.)
(b) Sejam
e
matrizes
, tais
, para todo
. Mostre que
. (Sugestão: use o item anterior.)
(b) Sejam
Passo 1
O enunciado divide-se em duas partes. Em (a) temos uma matriz
de tamanho
tal que
para todo vetor coluna
. Precisamos mostrar que
é a matriz nula. Em (b) temos duas matrizes
e
de mesmo tamanho
satisfazendo
para todo
, e precisamos provar
. Vamos usar conceitos de transformação linear e o conjunto das colunas de cada matriz.
Passo 2
Para (a), considere os vetores de base canônica de
. Defina, para
, o vetor
com o
na posição
. A multiplicação
retorna precisamente a
-ésima coluna de
. Pela hipótese,
para todo
.
Passo 3
Como cada
é o vetor nulo, todas as colunas de
são nulas. Logo,
é a matriz cujo todos os elementos são zero, isto é,
Passo 4
Para (b), considere a matriz diferença
. Ela também é
e satisfaz, para todo
,
Pela parte (a), a única matriz que anula todos os vetores coluna é a matriz nula. Portanto
e segue-se imediatamente que
Resposta
(a)
(b)
(b)