Encontre as coordenadas dos vetores A=[ll1 & 2 3 & 4] e C=[ll3 & 4 6 & 4], em relação à base:
B=[ll 1 & 0 0 & 0 ] ;[ll 1 & 1 0 & 0 ] ;[ll 1 & 1 1 & 0 ] ;[ll 1 & 1 1 & 1 ]

Passo 1

O enunciado pede para expressar as matrizes
A = 1 & 23 & 4 e C = 3 & 46 & 4
como combinação linear da base
B=lE1,E2,E3,E4r
onde
E1=1&00&0,; E2=1&10&0,; E3=1&11&0,; E4=1&11&1
O que precisamos é encontrar escalares x1,x2,x3,x4 tais que
x1E1 + x2E2 + x3E3 + x4E4
represente cada uma das matrizes dadas.

Passo 2

Vamos escrever a combinação geral
M = x1E1 + x2E2 + x3E3 + x4E4
e igualar suas entradas às entradas genéricas
l(m11,m12;m21,m22r):
M = x1 + x2 + x3 + x4 & x2 + x3 + x4 x3 + x4 & x4
Logo, obtemos o sistema triangular
x1 + x2 + x3 + x4 = m11, x2 + x3 + x4 = m12, x3 + x4 = m21, x4 = m22
Daqui extraímos diretamente
x4 = m22, x3 = m21 - x4, x2 = m12 - x3 - x4, x1 = m11 - x2 - x3 - x4

Passo 3

Aplicando ao caso de
A=1&23&4, temos
m11=1,;m12=2,;m21=3,;m22=4
Então
x4 = 4, x3 = 3 - 4 = -1, x2 = 2 -(-1) - 4 = -1, x1 = 1 -(-1) -(-1) - 4 = -1
Portanto, as coordenadas de A em B são
l[x1,x2,x3,x4r] = l[-1,-1,-1,4r]

Passo 4

Aplicando ao caso de
C=3&46&4, temos
m11=3,;m12=4,;m21=6,;m22=4
Então
x4 = 4, x3 = 6 - 4 = 2, x2 = 4 - 2 - 4 = -2, x1 = 3 -(-2) - 2 - 4 = -1
Logo, as coordenadas de C em B são
l[x1,x2,x3,x4r] = l[-1,-2,2,4r]

Resposta

As coordenadas em relação à base B são:
Para A: l[-1,,-1,,-1,,4r].
Para C: l[-1,,-2,,2,,4r].

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