Verifique que a famĂlia de funções indicada Ă© uma solução da equação diferencial dada. Admita um intervalo de definição
apropriado para cada solução.
(21.)
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Passo 1
O enunciado pede para verificar que a família de funções
satisfaz a equação diferencial
. O conteúdo é de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem (modelo logístico) e vamos precisar aplicar derivação (regra do quociente) e manipulações algébricas.
Passo 2
Vamos calcular a derivada
usando a regra do quociente:
Como
e
, o numerador simplifica para
. Então:
Passo 3
Agora calculamos o produto
:
Passo 4
Comparando, vemos que
. Portanto, a família dada realmente satisfaz a equação diferencial.
Passo 5
Para garantir que a função está bem definida, escolhemos um intervalo de definição
em que
. Por exemplo, se
, podemos tomar
.
Resposta
De fato,
, logo a família
é solução da equação diferencial. O domínio pode ser qualquer intervalo onde
(por exemplo
se
).