Verifique que a família de funções indicada é uma solução da equação diferencial dada. Admita um intervalo de definição I apropriado para cada solução.
(21.) d Pd t=P(1-P) ; P=c1 e^t1+c1 e^t

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a família de funções P(t)=c1 e^t1+c1 e^t satisfaz a equação diferencial dPdt=P(1-P). O conteúdo é de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem (modelo logístico) e vamos precisar aplicar derivação (regra do quociente) e manipulações algébricas.

Passo 2

Vamos calcular a derivada dPdt usando a regra do quociente:
dPdt = (c1 e^t)'(1 + c1 e^t) - c1 e^t cdot (1 + c1 e^t)'(1 + c1 e^t)^2
Como (c1 e^t)' = c1 e^t e (1 + c1 e^t)' = c1 e^t, o numerador simplifica para c1 e^t. Então:
dPdt = c1 e^t(1 + c1 e^t)^2

Passo 3

Agora calculamos o produto P(1 - P):
P(1 - P) = c1 e^t1 + c1 e^t cdot l(1 - c1 e^t1 + c1 e^tr) = c1 e^t1 + c1 e^t cdot 1 + c1 e^t - c1 e^t1 + c1 e^t = c1 e^t(1 + c1 e^t)^2

Passo 4

Comparando, vemos que dPdt = P(1 - P). Portanto, a família dada realmente satisfaz a equação diferencial.

Passo 5

Para garantir que a função está bem definida, escolhemos um intervalo de definição I em que 1 + c1 e^t neq 0. Por exemplo, se c1 > 0, podemos tomar I = R.

Resposta

De fato, dPdt=P(1 - P), logo a família P(t)=c1 e^t1+c1 e^t é solução da equação diferencial. O domínio pode ser qualquer intervalo onde 1 + c1 e^t neq 0 (por exemplo R se c1 > 0).

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