Equação de Clairaut.
Mostre que uma solução para a equação de Clairaut y=x y^prime+f(y^prime) é uma família de retas da forma y=c x+f(c), em que c é uma constante arbitrária e uma solução singular
Encontre as soluções gerais e singulares das seguintes equações de Clairaut.
y-x y^prime=ln (y^prime)

Passo 1

Nesse exercício vamos resolver a equação de Clairaut y - x y' = ln(y'). Lembrando que uma equação de Clairaut tem a forma y = x p + f(p) com p = y'. A solução geral é a família de retas y = c x + f(c) e existe ainda uma solução singular dada pelo envelope dessa família.

Passo 2

Identificamos aqui p = y' e f(p) = ln(p). Usando a solução geral de Clairaut obtemos a família de retas
y = c x + ln(c)
onde c é constante arbitrária.

Passo 3

Para achar a solução singular, diferenciamos y(c) em relação a c e igualamos a zero:
partialpartial cl(c x + ln(c)r) = x + 1c = 0
Isso leva a c = -tfrac1x.

Passo 4

Substituímos c = -1/x na expressão geral para obter a solução singular:
y = -1x,x + lnl(-tfrac1xr) = -1 + lnl(tfrac1-xr)
Simplificando, resulta
y = -1 - ln(-x).

Resposta

Solução geral: y = c x + ln(c). Solução singular: y = -1 - ln(-x).

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