Equação de Clairaut.
Mostre que uma solução para a equação de Clairaut
é uma família de retas da forma
, em que
é uma constante arbitrária e uma solução singular
Encontre as soluções gerais e singulares das seguintes equações de Clairaut.
Mostre que uma solução para a equação de Clairaut
Encontre as soluções gerais e singulares das seguintes equações de Clairaut.
Passo 1
Nesse exercício vamos resolver a equação de Clairaut
. Lembrando que uma equação de Clairaut tem a forma
com
. A solução geral é a família de retas
e existe ainda uma solução singular dada pelo envelope dessa família.
Passo 2
Identificamos aqui
e
. Usando a solução geral de Clairaut obtemos a família de retas
onde
Passo 3
Para achar a solução singular, diferenciamos
em relação a
e igualamos a zero:
Isso leva a
Passo 4
Substituímos
na expressão geral para obter a solução singular:
Simplificando, resulta
Resposta
Solução geral:
. Solução singular:
.