1. Encontre a curvatura de \mathbf{r}(t)=\left\langle t, t^{2}, t^{3}\right\rangle no ponto (1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede a curvatura de uma curva no espaço dada por
\mathbf{r}(t) = \langle t,\;t^2,\;t^3\rangle
no ponto (1,1,1). O conteúdo aqui é a definição de curvatura \kappa(t) de uma curva paramétrica em \mathbb{R}^3, que usamos via a fórmula
\kappa(t) \;=\;\frac{\bigl\|\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}''(t)\bigr\|}{\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|^3}.

Passo 2

Primeiro encontramos o valor de t que gera o ponto (1,1,1). Como \mathbf{r}(t) = (t, t^2, t^3), basta resolver
t = 1,\quad t^2 = 1,\quad t^3 = 1,
daí t_0 = 1.

Passo 3

Calculamos as derivadas primeiras e segundas de \mathbf{r}(t):
\mathbf{r}'(t) = \langle 1,\;2t,\;3t^2\rangle,
\mathbf{r}''(t) = \langle 0,\;2,\;6t\rangle.

Passo 4

Fazemos o produto vetorial \mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}''(t). Usando o determinante
\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}''(t) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 1 & 2t & 3t^2\\\\ 0 & 2 & 6t \end{vmatrix} = \langle 6t^2,\;-6t,\;2\rangle.

Passo 5

Calculamos as normas em termos de t:
\bigl\|\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}''(t)\bigr\| = \sqrt{(6t^2)^2 + (-6t)^2 + 2^2} =2\sqrt{9t^4 + 9t^2 +1},
\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\| = \sqrt{1 + (2t)^2 + (3t^2)^2} = \sqrt{1 +4t^2 +9t^4}.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula de \kappa(t) e avaliamos em t_0=1:
\kappa(1) =\frac{2\sqrt{9\cdot1^4+9\cdot1^2+1}}{\bigl(\sqrt{1+4\cdot1^2+9\cdot1^4}\bigr)^3} =\frac{2\sqrt{19}}{(\sqrt{14})^3} =\frac{2\sqrt{19}}{14\sqrt{14}} =\frac{\sqrt{19}}{7\sqrt{14}}.

Resposta

\kappa(1) \;=\;\frac{\sqrt{19}}{7\sqrt{14}}.

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