É possível que um sistema linear de cinco equações e duas variáveis tenha exatamente cinco soluções? Por quê?
Passo 1
O enunciado pergunta se um sistema linear com cinco equações e duas incógnitas pode ter exatamente cinco soluções. O conteúdo aqui é teoria de sistemas lineares, em particular o relacionamento entre o número de variáveis, o posto da matriz de coeficientes e a dimensão do espaço solução.
Passo 2
Represente o sistema na forma matricial
onde
é uma matriz
,
e
. O posto de
, denotado por
, satisfaz
Passo 3
Pela teoria básica de soluções de sistemas lineares, se o sistema for consistente então
onde
é o número de variáveis. Logo os casos possíveis são:
– Se , então
, ou seja, existe no máximo uma solução (caso consistente, exatamente uma).
– Se , então
, o espaço de soluções é uma reta, portanto infinito de soluções.
– Se , então
, o espaço de soluções é o plano
, também infinito de soluções.
Se o sistema for inconsistente, não há solução.
– Se
– Se
– Se
Se o sistema for inconsistente, não há solução.
Passo 4
Concluímos que o número de soluções possíveis é ou zero (inconsistente), ou exatamente uma (posto máximo), ou infinito (posto estritamente menor que o número de variáveis). Não existem configurações que gerem um número finito maior que 1 de soluções.
Resposta
Não. Um sistema linear de cinco equações e duas variáveis só pode ter zero, uma ou infinitas soluções, nunca exatamente cinco. Isso decorre do fato de que o conjunto de soluções forma sempre um espaço afim cuja dimensão é
, e esse número só pode ser
ou positivo, gerando apenas os casos apontados.