É possível que um sistema linear de cinco equações e duas variáveis tenha exatamente cinco soluções? Por quê?

Passo 1

O enunciado pergunta se um sistema linear com cinco equações e duas incógnitas pode ter exatamente cinco soluções. O conteúdo aqui é teoria de sistemas lineares, em particular o relacionamento entre o número de variáveis, o posto da matriz de coeficientes e a dimensão do espaço solução.

Passo 2

Represente o sistema na forma matricial
A x = b
onde A é uma matriz 5\times2, x\in\mathbb{R}^{2} e b\in\mathbb{R}^{5}. O posto de A, denotado por \mathrm{rank}(A), satisfaz
0 \le \mathrm{rank}(A)\le\min(5,2)=2.

Passo 3

Pela teoria básica de soluções de sistemas lineares, se o sistema for consistente então
\dim(\text{solução}) = n - \mathrm{rank}(A),çã
onde n=2 é o número de variáveis. Logo os casos possíveis são:
– Se \mathrm{rank}(A)=2, então \dim(\text{solução}) = 2-2=0çã, ou seja, existe no máximo uma solução (caso consistente, exatamente uma).
– Se \mathrm{rank}(A)=1, então \dim(\text{solução}) = 2-1=1çã, o espaço de soluções é uma reta, portanto infinito de soluções.
– Se \mathrm{rank}(A)=0, então \dim(\text{solução}) = 2-0=2çã, o espaço de soluções é o plano \mathbb{R}^2, também infinito de soluções.
Se o sistema for inconsistente, não há solução.

Passo 4

Concluímos que o número de soluções possíveis é ou zero (inconsistente), ou exatamente uma (posto máximo), ou infinito (posto estritamente menor que o número de variáveis). Não existem configurações que gerem um número finito maior que 1 de soluções.

Resposta

Não. Um sistema linear de cinco equações e duas variáveis só pode ter zero, uma ou infinitas soluções, nunca exatamente cinco. Isso decorre do fato de que o conjunto de soluções forma sempre um espaço afim cuja dimensão é 2 - \mathrm{rank}(A), e esse número só pode ser 0 ou positivo, gerando apenas os casos apontados.

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