Encontre y’ e y".
y=e^{e^{x}}

Passo 1

O enunciado dá y = e^{e^{x}}. É um composto de exponenciais, então vamos usar a regra da cadeia para diferenciar primeiro y e depois y'.

Passo 2

Para achar y', considere f(u)=e^{u} e u(x)=e^{x}. Então y=f(u(x)). Pela regra da cadeia,
y' = f'(u(x))\,u'(x) = e^{u(x)} \cdot e^{x} = e^{e^{x}}\,e^{x}.

Passo 3

Agora calcule y'' derivando y' = e^{x}e^{e^{x}}. Aplicamos a regra do produto e de novo a cadeia:
y'' = \frac{d}{dx}(e^{x}) \, e^{e^{x}} + e^{x}\,\frac{d}{dx}(e^{e^{x}}) = e^{x}e^{e^{x}} + e^{x}\bigl(e^{e^{x}}\cdot e^{x}\bigr) = e^{x}e^{e^{x}} + e^{2x}e^{e^{x}} = e^{x}e^{e^{x}}(1+e^{x}).

Resposta

y' = e^{x}e^{e^{x}}
y'' = e^{x}e^{e^{x}}(1+e^{x})

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