Encontre a derivada da função.
f(x)=\left(\frac{x}{x^{3}+1}\right)^{6}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x) = \biggl(\frac{x}{x^3+1}\biggr)^6.
O conteúdo envolve derivada de função composta (regra da cadeia) e derivada de quociente (regra do quociente).

Passo 2

Definimos
u(x) = \frac{x}{x^3+1}, \qquad f(x) = [u(x)]^6.
Pela regra da cadeia,
f'(x) = 6\,[u(x)]^5 \cdot u'(x).

Passo 3

Para u(x)=\tfrac{x}{x^3+1} aplicamos a regra do quociente com p(x)=x e q(x)=x^3+1:
u'(x) = \frac{q(x)\,p'(x) - p(x)\,q'(x)}{[q(x)]^2} = \frac{(x^3+1)\cdot1 - x\cdot3x^2}{(x^3+1)^2} = \frac{1 - 2x^3}{(x^3+1)^2}.

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) em f'(x):
f'(x) = 6 \left(\frac{x}{x^3+1}\right)^5 \cdot \frac{1 - 2x^3}{(x^3+1)^2} = \frac{6x^5\,(1 - 2x^3)}{(x^3+1)^7}.

Resposta

f'(x) = \frac{6x^5\,(1 - 2x^3)}{(x^3+1)^7}.

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