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usando primeiro propriedades algébricas da função logaritmo natural.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá.
- Pede: calcular
(a derivada de em relação a ). - Dá a função
- Observação sobre domínio (importante para a derivação): a expressão só faz sentido quando as funções dentro do logaritmo são definidas e o argumento do logaritmo é positivo. Não vamos precisar detalhar todo o domínio agora, mas a derivada só será válida onde a expressão original estiver definida.
Passo 2
Usar propriedades algébricas do logaritmo natural para simplificar
.
Vamos aplicar as propriedades básicas de logaritmo:
-
. -
. -
.
Aplicando essas propriedades à função dada:
Passo 3
Transformar raízes em potências e simplificar o fator trigonométrico.
-
, então . -
, então . - Para o denominador trigonométrico, note que
. Também é útil observar que Então .
Portanto a expressão simplificada fica
Passo 4
Plano para derivar: derivar termo a termo usando regra da cadeia.
Regra que vamos usar repetidamente: se
é diferenciável e
, então
Isto é a aplicação da derivada de
combinada com a regra da cadeia. Também usaremos derivadas básicas:
-
(para ). -
(por regra da cadeia, o derivado de é ). -
.
Passo 5
Derivar os dois primeiros termos (os logaritmos simples).
Derivando termo a termo:
- Para
: Aqui usei que a constante sai da derivada e . - Para
: Novamente a constante sai e pela regra da cadeia (derivado de é 1).
Passo 6
Derivar o terceiro termo
usando regra da cadeia.
Se
, então
.
Aqui . Logo:
Aqui
Passo 7
Simplificar a expressão
.
Vamos reescrever tudo em termos de seno e cosseno para simplificar:
Então
Portanto
(Alternativa de simplificação: como
, também se pode escrever
.)
Passo 8
Juntar todas as parcelas da derivada.
Somando as derivadas dos termos obtidos nos passos anteriores: