Encontre d y / d x usando primeiro propriedades algébricas da função logaritmo natural.
y=\ln \left(\frac{\sqrt{x} \sqrt[3]{x+1}}{\operatorname{sen} x \operatorname{sec} x}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • Pede: calcular \dfrac{d y}{d x} (a derivada de y em relação a x).
  • Dá a função
y=\ln\!\left(\frac{\sqrt{x}\,\sqrt[3]{x+1}}{\operatorname{sen} x\;\operatorname{sec} x}\right).
  • Observação sobre domínio (importante para a derivação): a expressão só faz sentido quando as funções dentro do logaritmo são definidas e o argumento do logaritmo é positivo. Não vamos precisar detalhar todo o domínio agora, mas a derivada só será válida onde a expressão original estiver definida.

Passo 2

Usar propriedades algébricas do logaritmo natural para simplificar y.
Vamos aplicar as propriedades básicas de logaritmo:
  • \ln\!\left(\dfrac{A}{B}\right)=\ln A-\ln B.
  • \ln(AB)=\ln A+\ln B.
  • \ln\big(A^k\big)=k\ln A.
Aplicando essas propriedades à função dada:
y=\ln\!\big(\sqrt{x}\big)+\ln\!\big(\sqrt[3]{x+1}\big)-\ln\!\big(\operatorname{sen} x\;\operatorname{sec} x\big).

Passo 3

Transformar raízes em potências e simplificar o fator trigonométrico.
  • \sqrt{x}=x^{1/2}, então \ln\!\big(\sqrt{x}\big)=\tfrac{1}{2}\ln x.
  • \sqrt[3]{x+1}=(x+1)^{1/3}, então \ln\!\big(\sqrt[3]{x+1}\big)=\tfrac{1}{3}\ln(x+1).
  • Para o denominador trigonométrico, note que \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}. Também é útil observar que \operatorname{sen} x\;\operatorname{sec} x=\operatorname{sen} x\cdot\frac{1}{\cos x}=\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}=\tan x.Então \ln\!\big(\operatorname{sen} x\;\operatorname{sec} x\big)=\ln(\tan x).
Portanto a expressão simplificada fica
y=\frac{1}{2}\ln x+\frac{1}{3}\ln(x+1)-\ln(\tan x).

Passo 4

Plano para derivar: derivar termo a termo usando regra da cadeia.
Regra que vamos usar repetidamente: se u(x) é diferenciável e y=\ln(u(x)), então
\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Isto é a aplicação da derivada de \ln combinada com a regra da cadeia. Também usaremos derivadas básicas:
  • \dfrac{d}{dx}\big(\ln x\big)=\dfrac{1}{x} (para x>0).
  • \dfrac{d}{dx}\big(\ln(x+1)\big)=\dfrac{1}{x+1} (por regra da cadeia, o derivado de x+1 é 1).
  • \dfrac{d}{dx}\big(\tan x\big)=\operatorname{sec}^2 x.

Passo 5

Derivar os dois primeiros termos (os logaritmos simples).
Derivando termo a termo:
  • Para \dfrac{1}{2}\ln x: \frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{2}\ln x\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{2x}.Aqui usei que a constante \tfrac{1}{2} sai da derivada e \dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x}.
  • Para \dfrac{1}{3}\ln(x+1): \frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{3}\ln(x+1)\right)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x+1}=\frac{1}{3(x+1)}.Novamente a constante sai e \dfrac{d}{dx}\ln(x+1)=\dfrac{1}{x+1} pela regra da cadeia (derivado de x+1 é 1).

Passo 6

Derivar o terceiro termo -\ln(\tan x) usando regra da cadeia.
Se w(x)=\tan x, então \dfrac{d}{dx}\big(\ln(w(x))\big)=\dfrac{w'(x)}{w(x)}.
Aqui w'(x)=\dfrac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^2 x. Logo:
\frac{d}{dx}\!\big(-\ln(\tan x)\big) = -\frac{\operatorname{sec}^2 x}{\tan x}.

Passo 7

Simplificar a expressão -\dfrac{\operatorname{sec}^2 x}{\tan x}.
Vamos reescrever tudo em termos de seno e cosseno para simplificar:
\operatorname{sec}^2 x=\frac{1}{\cos^2 x},\qquad \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}.
Então
\frac{\operatorname{sec}^2 x}{\tan x}=\frac{\dfrac{1}{\cos^2 x}}{\dfrac{\sin x}{\cos x}} =\frac{1}{\cos^2 x}\cdot\frac{\cos x}{\sin x} =\frac{1}{\cos x\,\sin x}.
Portanto
-\frac{\operatorname{sec}^2 x}{\tan x}=-\frac{1}{\sin x\,\cos x}.
(Alternativa de simplificação: como \sin(2x)=2\sin x\cos x, também se pode escrever -\dfrac{1}{\sin x\cos x}=-\dfrac{2}{\sin(2x)}.)

Passo 8

Juntar todas as parcelas da derivada.
Somando as derivadas dos termos obtidos nos passos anteriores:
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2x}+\frac{1}{3(x+1)}-\frac{1}{\sin x\,\cos x}.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2x}+\frac{1}{3(x+1)}-\frac{1}{\sin x\,\cos x}.

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