Encontre d y / d x.
y=\ln \left(\frac{\sqrt{x} \cos x}{1+x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \dfrac{d y}{d x} para a função
y=\ln\!\left(\frac{\sqrt{x}\,\cos x}{1+x^{2}}\right).
Informações dadas:
  • A função y é o logaritmo natural de uma fração.
  • No numerador da fração aparece \sqrt{x} e \cos x.
  • No denominador aparece 1+x^{2}.

Passo 2

Escolha do método (e por que): para funções que são logaritmo de um produto/quotiente, é muito mais simples usar as propriedades do logaritmo para transformar o argumento em soma e diferença de logaritmos; assim a diferenciação fica termo a termo (em vez de aplicar diretamente a regra do quociente e produto). Esta estratégia reduz a conta e evita erros na prova.

Passo 3

Usar as propriedades do logaritmo para reescrever y. Recordando as propriedades:
  • \ln\!\left(\dfrac{A}{B}\right)=\ln A-\ln B.
  • \ln(AB)=\ln A+\ln B.
  • \sqrt{x}=x^{1/2} e \ln(x^{a})=a\ln x.
Aplicando em y:
y=\ln(\sqrt{x})+\ln(\cos x)-\ln(1+x^{2})
e
\ln(\sqrt{x})=\ln\big(x^{1/2}\big)=\tfrac{1}{2}\ln x.
Portanto
y=\tfrac{1}{2}\ln x+\ln(\cos x)-\ln(1+x^{2}).

Passo 4

Revisão rápida das regras de derivação que vamos usar (com explicação simples):
  • Regra do logaritmo composto (cadeia): se y=\ln(u(x)) então
\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Isto vem da derivada de \ln combinada com a regra da cadeia.
  • Derivada de \ln x: \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}.
  • Derivada de \cos x: \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x. Assim,
\frac{d}{dx}\ln(\cos x)=\frac{(\cos x)'}{\cos x}=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x.
  • Derivada de \ln(1+x^{2}): pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\ln(1+x^{2})=\frac{2x}{1+x^{2}}.

Passo 5

Derivar termo a termo a expressão de y.
  • Para \tfrac{1}{2}\ln x:
\frac{d}{dx}\!\left(\tfrac{1}{2}\ln x\right)=\tfrac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{2x}.
  • Para \ln(\cos x):
\frac{d}{dx}\ln(\cos x)=-\tan x.
  • Para -\ln(1+x^{2}):
\frac{d}{dx}\!\left(-\ln(1+x^{2})\right)=-\frac{2x}{1+x^{2}}.
Somando as derivadas dos termos:
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2x}-\tan x-\frac{2x}{1+x^{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2x}-\tan x-\frac{2x}{1+x^{2}}

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