Encontre
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
para a função
Informações dadas:
- A função
é o logaritmo natural de uma fração. - No numerador da fração aparece
e . - No denominador aparece
.
Passo 2
Escolha do método (e por que): para funções que são logaritmo de um produto/quotiente, é muito mais simples usar as propriedades do logaritmo para transformar o argumento em soma e diferença de logaritmos; assim a diferenciação fica termo a termo (em vez de aplicar diretamente a regra do quociente e produto). Esta estratégia reduz a conta e evita erros na prova.
Passo 3
Usar as propriedades do logaritmo para reescrever
. Recordando as propriedades:
-
. -
. -
e .
Aplicando em
:
e
Portanto
Passo 4
Revisão rápida das regras de derivação que vamos usar (com explicação simples):
- Regra do logaritmo composto (cadeia): se
então
Isto vem da derivada de
combinada com a regra da cadeia.
- Derivada de
: . - Derivada de
: . Assim,
- Derivada de
: pela regra da cadeia,
Passo 5
Derivar termo a termo a expressão de
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Somando as derivadas dos termos: