Encontre
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada
quando
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - Queremos
. - Para usar
de forma real é necessário (caso contrário entramos em logaritmo complexo).
Passo 2
Por que escolher essa técnica? Aqui tanto a base quanto o expoente dependem de
(a base é
e o expoente é
). Quando a variável aparece no expoente e na base ao mesmo tempo, uma ferramenta muito prática é fazer a “diferenciação logarítmica”: tomar
dos dois lados para trazer o expoente para multiplicar, o que simplifica a diferenciação. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Aplicar o logaritmo natural em ambos os lados. Usando a propriedade
, obtemos
Aqui usei a propriedade do logaritmo que transforma potência em produto. Relembre:
só está definida (no sentido real) para
, daí a restrição de domínio.
Passo 4
Diferenciar implicitamente ambos os lados em relação a
.
Esquerda:
. Como
é função de
, aplica-se a regra da cadeia:
(Explicando: a derivada de
é
. Aqui
, então vira
.)
Direita:
. Aqui é um produto de duas funções
e
, então uso a regra do produto
.
-
. -
.
Portanto
Juntando as duas derivações:
Passo 5
Isolar
. Multiplico ambos os lados por
:
Agora substituo
pela expressão dada
:
Fatorando
para deixar mais compacto:
Passo 6
Verificação rápida e exemplo numérico (pra você ganhar confiança): em
, temos
e
. Assim
Ou seja, faz sentido e é fácil de avaliar em pontos simples.