Encontre d y / d x.
y=x^{\left(e^{x}\right)}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada \dfrac{d y}{d x} quando
y = x^{\left(e^{x}\right)}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é \;y=x^{(e^{x})}.
  • Queremos \dfrac{d y}{d x}.
  • Para usar \ln x de forma real é necessário \;x>0 (caso contrário entramos em logaritmo complexo).

Passo 2

Por que escolher essa técnica? Aqui tanto a base quanto o expoente dependem de x (a base é x e o expoente é e^{x}). Quando a variável aparece no expoente e na base ao mesmo tempo, uma ferramenta muito prática é fazer a “diferenciação logarítmica”: tomar \ln dos dois lados para trazer o expoente para multiplicar, o que simplifica a diferenciação. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Aplicar o logaritmo natural em ambos os lados. Usando a propriedade \ln(a^{b})=b\ln a, obtemos
\ln y = e^{x}\,\ln x.
Aqui usei a propriedade do logaritmo que transforma potência em produto. Relembre: \ln x só está definida (no sentido real) para x>0, daí a restrição de domínio.

Passo 4

Diferenciar implicitamente ambos os lados em relação a x.
Esquerda: \dfrac{d}{dx}\big(\ln y\big). Como y é função de x, aplica-se a regra da cadeia:
\dfrac{d}{dx}\big(\ln y\big)=\dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx}.
(Explicando: a derivada de \ln u é u'/u. Aqui u=y(x), então vira y'(x)/y(x).)
Direita: \dfrac{d}{dx}\big(e^{x}\ln x\big). Aqui é um produto de duas funções u(x)=e^{x} e v(x)=\ln x, então uso a regra do produto (uv)'=u'v+uv'.
  • u'(x)=\dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
  • v'(x)=\dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}.
Portanto
\dfrac{d}{dx}\big(e^{x}\ln x\big)=e^{x}\ln x + e^{x}\cdot\dfrac{1}{x}.
Juntando as duas derivações:
\dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx}=e^{x}\ln x + e^{x}\cdot\dfrac{1}{x}.

Passo 5

Isolar \dfrac{dy}{dx}. Multiplico ambos os lados por y:
\dfrac{dy}{dx}=y\left(e^{x}\ln x + e^{x}\cdot\dfrac{1}{x}\right).
Agora substituo y pela expressão dada y=x^{(e^{x})}:
\dfrac{dy}{dx}=x^{(e^{x})}\left(e^{x}\ln x + e^{x}\cdot\dfrac{1}{x}\right).
Fatorando e^{x} para deixar mais compacto:
\dfrac{dy}{dx}=x^{(e^{x})}\,e^{x}\!\left(\ln x + \dfrac{1}{x}\right).

Passo 6

Verificação rápida e exemplo numérico (pra você ganhar confiança): em x=1, temos \ln 1=0 e x^{(e^{x})}=1^{e}=1. Assim
\left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{x=1}=1\cdot e^{1}\left(0+\dfrac{1}{1}\right)=e.
Ou seja, faz sentido e é fácil de avaliar em pontos simples.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=x^{\left(e^{x}\right)}\,e^{x}\!\left(\ln x+\dfrac{1}{x}\right)

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