Estude a concavidade da seguinte função:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada na função $ f(x) = \frac{1}{x} $. O que a gente precisa fazer aqui é estudar a concavidade dessa função. Para isso, vamos mexer com derivadas, que é uma ferramenta legal do cálculo para entender como as funções se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $. A derivada nos mostra a inclinação da função em cada ponto, ou seja, quão íngreme ela está subindo ou descendo. Para $ f(x) = \frac{1}{x} $, a primeira derivada é:
Passo 3
Agora, vamos precisar da segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada. A segunda derivada vai nos ajudar a entender a concavidade da função, ou seja, se ela está “sorrindo” (côncava para cima) ou “chorando” (côncava para baixo). Derivando novamente, temos:
Passo 4
Com a segunda derivada em mãos, vamos analisar o sinal dela para determinar a concavidade. Se $ f’’(x) > 0 $, a função é concava para cima; se $ f’’(x) < 0 $, é concava para baixo.
Analisando $ f’’(x) = \frac{2}{x^3} $:
- Quando $ x > 0 $, $ \frac{2}{x^3} > 0 $, então a função é concava para cima.
- Quando $ x < 0 $, $ \frac{2}{x^3} < 0 $, então a função é concava para baixo.
Resposta
A função $ f(x) = \frac{1}{x} $ é concava para cima quando $ x $ é positivo e concava para baixo quando $ x $ é negativo.