Estude a concavidade da seguinte função:
f(x)=1x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na função $ f(x) = \frac{1}{x} $. O que a gente precisa fazer aqui é estudar a concavidade dessa função. Para isso, vamos mexer com derivadas, que é uma ferramenta legal do cálculo para entender como as funções se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ f(x) $. A derivada nos mostra a inclinação da função em cada ponto, ou seja, quão íngreme ela está subindo ou descendo. Para $ f(x) = \frac{1}{x} $, a primeira derivada é:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos precisar da segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada. A segunda derivada vai nos ajudar a entender a concavidade da função, ou seja, se ela está “sorrindo” (côncava para cima) ou “chorando” (côncava para baixo). Derivando novamente, temos:
f''(x) = 2x^3

Passo 4

Com a segunda derivada em mãos, vamos analisar o sinal dela para determinar a concavidade. Se $ f’’(x) > 0 $, a função é concava para cima; se $ f’’(x) < 0 $, é concava para baixo.
Analisando $ f’’(x) = \frac{2}{x^3} $:
  • Quando $ x > 0 $, $ \frac{2}{x^3} > 0 $, então a função é concava para cima.
  • Quando $ x < 0 $, $ \frac{2}{x^3} < 0 $, então a função é concava para baixo.

Resposta

A função $ f(x) = \frac{1}{x} $ é concava para cima quando $ x $ é positivo e concava para baixo quando $ x $ é negativo.

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